考点15 特殊的平行四边形-备战2023年中考数学必考知识梳理与题型归纳突破（全国通用）

考点15 特殊的平行四边形 本考点内容是考查重点，年年都会考查，分值为15分左右，预计2023年各地中考还将出现，并且在选择、填空题中考查利用特殊四边形性质和判定求角度、长度问题的可能性比较大。解答题中考查特殊四边形的性质和判定，一般和三角形全等、解直角三角形、二次函数、动态问题综合应用的可能性比较大。对于本考点内容，要注重基础，反复练习，灵活运用。 1．矩形的性质： 1）四个角都是直角；2）对角线相等且互相平分；3）面积=长×宽=2S△ABD=4S△AOB．（如图） 2．矩形的判定： 1）定义法：有一个角是直角的平行四边形；2）有三个角是直角；3）对角线相等的平行四边形． 3．菱形的性质： 1）四边相等；2）对角线互相垂直、平分，一条对角线平分一组对角；3）面积=底×高=对角线乘积的一半． 4．菱形的判定： 1）定义法：有一组邻边相等的平行四边形；2）对角线互相垂直的平行四边形；3）四条边都相等的四边形． 5．正方形的性质： 1）四条边都相等，四个角都是直角；2）对角线相等且互相垂直平分；3）面积=边长×边长=2S△ABD=4S△AOB． 6．正方形的判定： 1）定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形；2）一组邻边相等的矩形； 3）一个角是直角的菱形；4）对角线相等且互相垂直、平分． 7、特殊的平行四边形之间的联系 （1）两组对边分别平行；（2）相邻两边相等；（3）有一个角是直角；（4）有一个角是直角； （5）相邻两边相等；（6）有一个角是直角，相邻两边相等；（7）四边相等；（8）有三个角都是直角． 8、中点四边形 1）任意四边形所得到的中点四边形一定是平行四边形. 2）对角线相等的四边形所得到的中点四边形是矩形. 3）对角线互相垂直的四边形所得到的中点四边形是菱形. 4）对角线互相垂直且相等的四边形所得到的中点四边形是正方形. 考向1 矩形的性质 1．矩形除了具有平行四边形的一切性质外，还具有自己单独的性质，即：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等． 2．利用矩形的性质可推出直角三角形斜边中线的性质，即在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 1．（2022·四川宜宾·中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，，，将沿BD折叠到位置，DE交AB于点F，则的值为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明，得出，，设，则，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数的定义求出结果即可． 【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD=AB=5，AB=BC=3，， 根据折叠可知，，，， ∴在△AFD和△EFB中，∴（AAS）， ∴，，设，则， 在中，，即， 解得：，则，∴，故C正确．故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据题意证明，是解题的关键． 2．（2022·吉林·中考真题）如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且，连接．若，则__________． 【答案】##2.5 【分析】由矩形的性质可得点F是OA的中点，从而EF是△AOD的中位线，则由三角形中位线定理即可求得EF的长． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，∴BD=AC=10，OA=AC，OD=BD=5， ∵，∴，即点F是OA的中点． ∵点是边的中点，∴EF是△AOD的中位线， ∴．故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理等知识，掌握中位线定理是本题的关键． 3．（2022·湖北鄂州·中考真题）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且∠CDF=∠BDC、∠DCF=∠ACD．(1)求证：DF=CF；(2)若∠CDF=60°，DF=6，求矩形ABCD的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】（1）先证明△DCF≌△DCO得到DF=DO，CF=CO，再由矩形的性质证明OC=OD，即可证明DF=CF=OC=OD；（2）由全等三角形的性质得到∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6，即可证明△OCD是等边三角形，得到CD=OD=6，然后解直角三角形BCD求出BC的长即可得到答案． (1)解：在△DCF和△DCO中， ，∴△DCF≌△DCO（ASA），∴DF=DO，CF=CO， ∵四边形ABCD是矩形，∴，∴DF=CF=OC=OD； (2)解：∵△DCF≌△DCO，∴∠CDO=∠CDF=60°，OD=DF=6， 又∵OD=OC，∴△OCD是等边三角形，∴CD=OD=6， ∵四边形ABCD是矩形，∴∠BCD=90°， ∴，∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，解直角三角形，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，熟练掌握矩形的性质是解题的关键