专题08 变量之间的关系-【备考先锋必刷题】2022-2023学年七年级数学下册期中期末复习（北师大版）

体系搭建 一、知识框架 二、知识概念 （一）变量相关的定义 1、变量：在某一变化过程中，可以取不同数值的量。 2、自变量和因变量。 （1）在某一变化过程中，有两个变量，当其中一个变量在一定范围内取一个数值时，另一个变量也有唯一一个数值与其对应，通常把前一个变量叫做自变量，后一个变量叫做因变量。 （2） 自变量和因变量的区别和联系。联系：两者都是某一变化过程中的变量，两者因研究的侧重点或先后顺序不同可以互相转化，比如当路程一定时，时间随速度的变化而变化，这时速度为自变量，时间为因变量。而当速度一定时，路程随时间的变化而变化，这时时间为自变量，路程为因变量。 区别：因变量随自变量的变化为变化。 3、常量：在变化过程中数值始终不变的量。 （二）表示方法 1、表格法。用表格来表示两个变量之间的关系，一般第一栏表示自变量，第二栏表示因变量。从表格中可以发现因变量随自变量变化而发生的变化存在一定的规律---或者增加或者减少或者呈现规律性地起伏变化，从而利用变化趋势对结果进行预测。 2、关系式法。含有两个未知数（变量）的等式表示这两个变量的关系式，用自变量表示因变量的代数式。 3、图象法。用图象来表示两个变量之间的关系，较为形象、直观，通常用水平方向的数轴（称为横轴）上的点，表示自变量，用竖直方向的数轴（称为纵轴）上的点表示因变量，用坐标来表示每对自变量和因变量的对应值所在的位置。 （三）应用问题。结合表格法、关系式法、图象法三种关系表示变量之间的关系的方法，解决实际问题，一般包括路程问题、周长问题等等。 例题分析 考点1 用表格表示变量间的关系 【例1】．某商店出售一种瓜子，其售价y（元）与瓜子质量x（千克）之间的关系如下表： 质量x（千克） 1 2 3 4 …… 售价y（元） 3.6+0.2 7.2+0.2 10.8+0.2 14.4+0.2 …… 其中售价栏中的0.2是塑料袋的价钱． （1）在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ （2）写出售价y与质量x之间的关系式． （3）当质量由5千克变化到10千克时，售价的变化范围是多少？ 变式训练 【变1-1】．金融危机虽然给世界各国带来不小的冲击，但某公司励精图治，决定投资开发新项目，通过考察确定有6个项目可供选择，各项目所需资金及预计年利润如下表： 所需资金/亿元 1 2 4 6 7 8 预计年利润/千万元 0.2 0.35 0.55 0.7 0.9 1 （1）上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）如果投资一个4亿元的项目，那么其年利润预计有多少？ （3）如果要预计获得0.9千万元的年利润，投资一个项目需要多少资金？ （4）如果该公司可以拿出10亿元进行多个项目的投资，可以有几种投资方案？哪种方案年利润最大？最大是多少？ 【变1-2】．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间有如下关系：（其中0≤x≤30） 提出概念所 用时间（x） 2 5 7 10 12 13 14 17 20 对概念的接受能力（y） 47.8 53.5 56.3 59.0 59.8 59.9 59.8 58.3 55.0 （1）上表中反映了哪两个变量之间的关系？ （2）当提出概念所用时间是5分钟时，学生的接受能力是多少？ （3）根据表格中的数据，你认为提出概念几分钟时，学生的接受能力最强？ （4）从表中可知，当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？当时间x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ 考点2 用关系式表示变量间的关系 【例2】．已知矩形ABCD中，AB＝60cm，BC＝40cm，动点P从A点出发，沿着矩形的边自A→B→C→D运动到点D，速度为1cm/s，设运动时间为t（s），△APD的面积为y（cm2）．求y与t的解析式． 变式训练 【变2-1】．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是﹣2，若输入x的值是﹣8，则输出y的值是（　　） A．5 B．10 C．19 D．21 【变2-2】．4月17日共享单车空降辽阳，为市民的出行带来了方便．某单车公司规定，首次骑行需交199元押金，第一次骑行收费标准如下（不足半小时的按半小时计算） 骑行时间t（小时） 0.5 1 1.5 2 … 骑行费用y（元） 199+1 199+2 199+3 199+4 … 则第一次骑行费用y（元）与骑行时间t（小时）之间的关系式为 　． 【变2-3】．为了了解某种车的耗油量，我们对这种车在高速公路上做了耗油试验