【突破压轴冲刺名校】 压轴专题11 圆锥曲线综合问题大题综合 2023届新高考数学复习尖子生30题难题突破（江苏专用）

压轴专题11 圆锥曲线综合问题大题综合 1．（2023·江苏南通·校联考模拟预测）已知A，B是椭圆上关于坐标原点O对称的两点，点，连结DA并延长交C于点M，连结DB交C于点N． (1)若A为线段DM的中点，求点A的坐标； (2)设，的面积分别为，若，求线段OA的长． 2．（2023·江苏·二模）如图，过轴左侧的一点作两条直线分别与抛物线交于和四点，并且满足，． (1)设的中点为，证明垂直于轴 (2)若是双曲线左支上的一点，求面积的最小值． 3．（2023·江苏·统考一模）已知双曲线：的离心率为，直线：与双曲线C仅有一个公共点. (1)求双曲线的方程 (2)设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线C于M，N两点，求证：的垂心在双曲线C上. 4．（2022秋·江苏南通·高三期中）已知过定点的直线交曲线于A，B两点． (1)若直线的倾斜角为，求； (2)若线段的中点为，求点的轨迹方程． 5．（2023春·江苏南京·高三南京师范大学附属中学江宁分校校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线的离心率为.斜率为的直线经过点，点是直线与双曲线的交点，且. (1)求双曲线的方程； (2)若经过定点的直线与双曲线相交于、两点，经过点斜率为的直线与直线的交点为，求证：直线经过轴上的定点. 6．（2021秋·江苏南京·高三南京市中华中学校考阶段练习）已知C：的上顶点到右顶点的距离为，离心率为，过椭圆左焦点作不与x轴重合的直线与椭圆C相交于M、N两点，直线m的方程为：，过点M作垂直于直线m交直线m于点E. (1)求椭圆C的标准方程： (2)①若线段EN必过定点P，求定点P的坐标； ②点O为坐标原点，求面积的最大值. 7．（2022秋·江苏南通·高三统考阶段练习）抛物线：，双曲线：且离心率，过曲线下支上的一点作的切线，其斜率为. (1)求的标准方程； (2)直线与交于不同的两点，，以PQ为直径的圆过点，过点N作直线的垂线，垂足为H，则平面内是否存在定点D，使得DH为定值，若存在，求出定值和定点D的坐标；若不存在，请说明理由. 8．（2022秋·江苏南京·高三南京师大附中校联考阶段练习）已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且点，，三个点中有且仅有两点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程； (2)直线交双曲线于轴右侧两个不同点的，连接分别交直线于点．若直线与直线的斜率互为相反数，证明：为定值． 9．（2022秋·江苏常州·高三统考阶段练习）已知椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，椭圆上的点到准线的最短距离为2，且椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3.设点分别为椭圆的右顶点和左焦点，过点的直线交椭圆于点，直线分别与直线交于点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线和直线的斜率之积为定值； (3)求与面积之和的最小值. 10．（2023秋·江苏扬州·高三扬州中学校考阶段练习）已知点是焦点为F的抛物线C：上一点． (1)求抛物线C的方程； (2)设点P是该抛物线上一动点，点M，N是该抛物线准线上两个不同的点，且的内切圆方程为，求面积的最小值． 11．（2022秋·江苏·高三校联考阶段练习）在直角坐标系中，已知抛物线的焦点为F，过点F的直线交抛物线C于A，B两点，且． (1)求抛物线C的方程； (2)直线分别交直线于两点，圆是以线段为直径的圆．从下面①②中选取一个作为条件，证明另外一个成立． ①直线l是抛物线C的准线；②直线与圆相切． 12．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知椭圆：的离心率为，直线过C的焦点且垂直于x轴，直线被C所截得的线段长为. (1)求C的方程； (2)若C与y轴的正半轴相交于点P，点A在x轴的负半轴上，点B在C上，，，求的面积. 13．（2023秋·江苏苏州·高三常熟中学校考期末）椭圆C：（）的左右焦点分别为，，上顶点为A，且，． (1)求C的方程； (2)若椭圆E：（且），则称E为C的倍相似椭圆，如图，已知E是C的3倍相似椭圆，直线l：与两椭圆C，E交于4点（依次为M，N，P，Q，如图）．且，证明：点T（k，m）在定曲线上． 14．（2023春·江苏镇江·高三校考开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点为A，钝角三角形的面积为，斜率为的直线交椭圆C于P，Q两点.当直线经过，A两点时，点到直线的距离为. (1)求椭圆C的标准方程； (2)设O为坐标原点，当直线的纵截距不为零时，试问是否存在实数k，使得 为定值?若存在，求出此时面积的最大值；若不存在，请说明理由. 15．（2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点． (1)若，求证：； (2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值． 16．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶