第07讲：导数中的不等式问题-冲刺2023年高考数学压轴题——导数专题全面复习讲义

第七讲：导数中的不等式问题 考点1：利用函数最值证明不等式 根据已知函数的单调性，求解函数再已知区间的极值和最值，然后进行不等式的证明. 考点2：利用函数最值，二次构造证明不等式 根据分类讨论，求解函数的单调性，在进行含参的函数进行构造新函数，进行最值证明. 考点3：利用隐零点证明函数不等式 利用隐零点去讨论函数的单调性，然后带入隐零点，进行最值的转化和求解，进行不等式的证明 考点4：利用放缩法证明函数不等式 利用常见的不等式：等，进行放缩，然后在进行函数的证明. 考点5：利用函数的凹凸性证明不等式 将不等式左右两边的变量，构造成两个新函数，利用函数的凹凸性，证明上凸函数的最大值小于等于下凹函数的最小值，即可证明不等式. 考点6：双变量转化单变量，构造函数证明不等式 将两个双变量通过加、减、乘、除等方法，换元转化为一个未知变量，再构造新函数，进行最值求解证明. 考点7：利用数列求和转变通项公式，证明不等式 通过数列前项和，进行通项公式的求解，再利用通项公式之间进行不等式证明. 题型目录： 题型一：利用函数最值证明不等式 题型二：构造新函数，利用函数最值证明不等式 题型三：分类讨论求最值再构造函数证明不等式 题型四：隐零点证明不等式 题型五：放缩法证明不等式 题型六：同构法（换元法）证明不等式 题型七：函数凹凸性证明不等式 题型八：双变量构造函数证明不等式 题型九：构造数列证明不等式 题型一：利用函数最值证明不等式 例题．设函数，曲线在处的切线方程为. (1)求，； (2)证明：. 变式训练1．已知函数，其中；当，时，证明：. 变式训练2．已知函数；证明：若，则； 变式训练3．已知函数． (1)若函数在处取得极值，求的单调区间； (2)若，证明：当时，． 题型二：构造新函数，利用函数最值证明不等式 例题．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)证明：. 变式训练1．已知函数. (1)求该函数在点处的切线方程； (2)证明：当时，. 变式训练2．已知函数，函数． (1)若曲线与直线相切，求的值； (2)若，证明：； 变式训练3．已知，曲线在处的切线方程为． (1)求的值； (2)证明：当时，． 题型三：分类讨论求最值再构造函数证明不等式 例题．已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明． 变式训练1．设函数． （Ⅰ）求的单调区间； （Ⅱ）若，证明：． 变式训练2．已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，证明. 变式训练3．设函数. （Ⅰ）讨论的导函数的零点的个数； （Ⅱ）证明：当时. 题型四：隐零点证明不等式 例题．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求证：. 变式训练1．已知函数． (1)已知点在函数的图象上，求函数在点处的切线方程． (2)当时，求证． 变式训练2．已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)当时，证明：. 变式训练3．已知函数，. (1)求的极值. (2)若，证明：当时，. 题型五：放缩法证明不等式 例题．已知函数． (1)已知点在函数的图象上，求函数在点处的切线方程． (2)当时，求证． 变式训练1．已知函数. (1)求在（为自然对数的底）处的切线方程； (2)证明：当时，． 变式训练2．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)求证：时，． 变式训练3．已知函数，若恒成立， (1)求实数的取值范围； (2)当时，证明：. 题型六：同构法（换元法）证明不等式 例题．已知函数. (1)若为的极大值点，求的取值范围； (2)当时，证明：. 变式训练1．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 变式训练2．已知函数（，为自然对数的底数）． (1)若在处的切线与直线平行，求的极值； (2)若，求证：． 变式训练3．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)证明：． 题型七：函数凹凸性证明不等式 例题．已知函数（）. (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：. 变式训练1．已知函数. （1）求函数的单调区间； （2）证明：. 变式训练2．已知函数. (1)判断函数的单调性： (2)若函数，求证：当时，. 变式训练3．已知函数，曲线在点处的切线与轴交于点. (1)求. (2)证明：. 题型八：双变量构造函数证明不等式 例题．已知函数． (1)求在点处的切线方程． (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围． (3)已知，，求证：． 变式训练1．已知函数． (1)设，证明：对，都有恒成立； (2)若，求证：． 变式训练2．已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，且，证明：． 变式训练3．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)设，为两个不相等的正数，且，证明：. 题型九：构造数列证明不等式 例题．已知函数． (1)若在上恒成立，求的取值范围；