上海市杨浦区2023届高三下学期4月模拟质量调研（二模）数学试卷

杨浦区2022学年度第二学期高三年级模拟质量调研 数学学科试卷 2023.4 考生注意： 1．答卷前，考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上． 2．本试卷共有21道题，满分150分，考试时间120分钟． 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1. 集合，，则_________. 2. 复数的虚部是_________. 3. 已知等差数列中，，则通项公式为_________. 4. 设，则_________. 5. 函数的导数是_________. 6. 若圆锥的侧面积为，高为4，则圆锥的体积为_________. 7. 由函数的观点，不等式的解集是_________. 8. 某中学举办思维竞赛，现随机抽取50名参赛 学生的成绩制作成频率分布直方图（如图）， 估计：学生的平均成绩为_________分. 9. 内角的对边是，若 ，，，则_________. 10. ，分别是双曲线的左右焦点，过的直线与双曲线的左右两支分别交 于两点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为_________. 11. 若存在实数，使函数在上有且仅有2个零点，则的取值范围为__________. 12. 已知非零平面向量，，，满足，，且，则的 最小值是________. 2、 选择题（本题共有4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑. 13. 已知，则 “” 是 “” 的 （ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件. 14. 对成对数据用最小二乘法求回归方程是为了使（ ） A. B. C.最小 D. 最小. 15. 下列函数中，既是偶函数，又在区间上严格递减的是 （ ） A. B. C. D. . 16. 如图，一个由四根细铁杆、、、组成的支架（、、、按照逆时针排布），若，一个半径为1的球恰好放在 支架上与四根细铁杆均有接触，则球心到点的距离是 （ ） A. B. C. 2 D. . 三、解答题（本大题满分78分）本大题共5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤 . 17. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知一个随机变量的分布为：. （1） 已知，求的值； （2） 记事件：为偶数；事件：. 已知，求，，并判断是否相互独立？ 18. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 四边形是边长为1的正方形，与交于点，平面，且二面角的大小为. （1）求点到平面的距离； （2）求直线与平面所成的角. 19. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 如图，某国家森林公园的一区域为人工湖，其中射线，为公园边界. 已知，以点为坐标原点，以为轴正方向，建立平面直角坐标系（单位：千米），曲线的轨迹方程为: . 计划修一条与湖边相切于点的直路（宽度不计），直路与公园边界交于点两点，把人工湖围成一片景区. （1）若点坐标为，计算直路的长度; （精确到0.1千米） （2）若为曲线（不含端点）上的任意一点，求景区面积的最小值. （精确到0.1平方千米） 20． （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知椭圆的右焦点为，直线. （1）若到直线的距离为，求; （2）若直线与椭圆交于两点，且的面积为，求; （3）若椭圆上存在点，过作直线的垂线，垂足为，满足直线和直线的夹角为，求的取值范围. 21. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分. 已知数列是由正实数组成的无穷数列，满足，， （为正整数）． （1）写出数列前4项的所有可能取法； （2）判断：是否存在正整数，满足，并说明理由; （3）为数列的前项中不同取值的个数，求的最小值. 参考答案 一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，1-6每题4分，7-12每题5分。考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果 1． 2．