专题08 正弦定理、余弦定理及解三角形应用举例-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题08正弦定理、余弦定理及解三角形应用举例 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：利用正、余弦定理解三角形 考点二：判断三角形的形状 考点三：和三角形面积有关的问题 考点四：测量距离问题 考点五：测量高度问题 考点六：测量角度问题 考点七：求解平面几何问题 考点八：三角函数与解三角形的交汇问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 单选题：共8题 多选题：共4题 填空题：共4题 解答题：共6题 【思维方法】 1.利用正弦定理可解决以下两类三角形问题： 一是已知两角和一角的对边，求其他边与角； 二是已知两边和一边的对角，求其他边与角(该三角形具有不唯一性，常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断). 2.利用余弦定理可解决以下两类三角形问题： 一是已知两边和它们的夹角，求其他边与角； 二是已知三边求各个角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的，所以其解也是唯一的. 3.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁. 4.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 5.与三角形面积有关问题的解题策略： (1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的相关边、角之后，直接求三角形的面积； (2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量. 6.距离问题的类型及解法： (1)类型：两点间既不可达也不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达. (2)解法：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解. 7.在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念，仰角和俯角都是在同一铅垂面内，视线与水平线的夹角. 8.准确理解题意，分清已知条件与所求，画出示意图. 9.运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解问题的答案，注意方程思想的运用. 10.测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解. 11.方向角是相对于某点而言的，因此在确定方向角时，必须先弄清楚是哪一个点的方向角. 12.平面几何中解三角形问题的求解思路 (1)把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理求解. (2)寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，求出结果. 13.解三角形与三角函数的综合应用主要体现在以下两方面： (1)利用三角恒等变换化简三角函数式进行解三角形； (2)解三角形与三角函数图象和性质的综合应用. 【查缺补漏】 【考点一】利用正、余弦定理解三角形 【典例1】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C＝60°，b＝，c＝3，则A＝________. 【解析】由正弦定理，得sin B＝＝＝，所以B＝45°或135°，因为b<c，所以B<C，故B＝45°，所以A＝75°. 【典例2】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bsin 2A＝asin B，且c＝2b，则等于(　　) A.2 B.3 C. D. 【解析】由正弦定理及bsin 2A＝asin B，得2sin Bsin Acos A＝sin Asin B，又sin A≠0，sin B≠0，则cos A＝.又c＝2b，所以由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋4b2－4b2×＝3b2，得＝.故选D. 【典例3】(多选题)在△ABC中，a＝5，c＝10，A＝30°，则角B的值可以是(　　) A.105° B.15° C.45° D.135° 【解析】∵a＝5，c＝10，A＝30°， 由正弦定理可得，＝，即＝， 所以sin C＝， ∵a＜c，∴A＜C， 则C＝45°或C＝135°， 则B＝105°或B＝15°. 【考点二】判断三角形的形状 【典例1】在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcos C，则此三角形一定是(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等腰三角形或直角三角形 【解析】法一　由余弦定理可得a＝2b·， 因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c， 从而△ABC为等腰三角形. 法二　由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C， 因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C， 即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C，于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C， 故△