第三章 第二节 第5课时　利用导数研究函数的零点-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P314] [提升练] 1．已知函数f(x)＝ln x－x2＋ax，a∈R. (1)证明：ln x≤x－1； (2)若a≥1，讨论函数f(x)的零点个数． 解析　(1)证明　令g(x)＝ln x－x＋1(x>0)，则g(1)＝0， g′(x)＝－1＝， 可得x∈(0，1)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增； x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减． ∴当x＝1时，函数g(x)取得极大值也是最大值， ∴g(x)≤g(1)＝0，即ln x≤x－1. (2)f′(x)＝－2x＋a＝，x>0. 令－2x＋ax0＋1＝0， 解得x0＝(负值舍去)， 在(0，x0)上，f′(x)>0，函数f(x)单调递增； 在(x0，＋∞)上，f′(x)<0，函数f(x)单调递减． ∴f(x)max＝f(x0). 当a＝1时，x0＝1，f(x)max＝f(1)＝0， 此时函数f(x)只有一个零点x＝1. 当a>1时，f(1)＝a－1>0， f＝ln －＋<－1－＋ ＝－－<0， f(2a)＝ln 2a－2a2<2a－1－2a2＝－2－<0. ∴函数f(x)在区间和区间(1，2a)上各有一个零点． 综上，可得当a＝1时，函数f(x)只有一个零点x＝1； 当a>1时，函数f(x)有两个零点． 2．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)＝ax－－(a＋1)ln x. (1)当a＝0时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)恰有一个零点，求a的取值范围． 解析　(1)当a＝0时，f＝－－ln x，x＞0，则f′＝－＝， 当x∈时，f′＞0，f单调递增； 当x∈时，f′＜0，f单调递减； 所以fmax＝f＝－1. (2)f＝ax－－ln x，x＞0， 则f′＝a＋－＝， 当a≤0时，ax－1<0，所以当x∈时， f′＞0，f单调递增； 当x∈时，f′＜0，f单调递减； 所以fmax＝f＝a－1＜0，此时函数无零点，不合题意； 当0＜a＜1时，＞1，在，上，f′＞0，f单调递增； 在上，f′＜0，f单调递减； 又f＝a－1＜0，当x趋近正无穷大时，f趋近于正无穷大， 所以f仅在有唯一零点，符合题意； 当a＝1时，f′＝≥0，所以f单调递增，又f＝a－1＝0， 所以f有唯一零点，符合题意； 当a＞1时，＜1，在，上，f′＞0，f单调递增； 在上，f′＜0，f单调递减； 此时f＝a－1＞0， 又f＝－an＋nln a，当n趋近正无穷大时，f趋近负无穷， 所以f在上有一个零点，在上无零点， 所以f有唯一零点，符合题意； 综上，a的取值范围为. [冲刺练] 3．已知函数f(x)＝x3－a(x2＋x＋1). (1)若a＝3，求f(x)的单调区间； (2)证明：f(x)只有一个零点． 解析　(1)当a＝3时，f(x)＝x3－3x2－3x－3， f′(x)＝x2－6x－3. 令f′(x)＝0，解得x＝3－2或x＝3＋2. 当x∈(－∞，3－2)∪(3＋2，＋∞)时， f′(x)>0； 当x∈(3－2，3＋2)时，f′(x)<0. 故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－2)，(3＋2，＋∞)，单调递减区间为(3－2，3＋2). (2)证明　因为x2＋x＋1>0在R上恒成立， 所以f(x)＝0等价于－3a＝0. 设g(x)＝－3a，则g′(x)＝≥0在R上恒成立， 当且仅当x＝0时g′(x)＝0， 所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．又f(3a－1)＝－6a2＋2a－＝－6－<0， f(3a＋1)＝＞0，故f(x)有一个零点． 综上，f(x)只有一个零点． 4．(2022·全国甲卷·文)已知函数f(x)＝－ln x＋x－a. (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)证明：若f(x)有两个零点x1，x2，则x1x2＜1. 解析　(1)f(x)定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－＋1＝， 令f′(x)＝0⇒x＝1，所以0＜x＜1时，f′(x)＜0，f(x)单调递减； x＞1时，f′(x)＞0，f(x)单调递增； ∴f(x)min＝f(1)＝e＋1－a，要使得f(x)≥0恒成立即满足f(x)min＝f(1)＝e＋1－a≥0⇒a≤e＋1. (2)证明　由(1)知要使得f(x)有两个零点，则f(x)min＝f(1)＝e＋1－a＜0⇒e＋1＜a， 假设0＜x1＜1＜x2.要证明x1x2＜1，即证明1＜x2＜，又由于f(x)在(1，＋∞)上单调递增，即证明f(x2)＜f⇔f(x1)＜f.下面构造函数F(x)＝f(x)－f(0＜x＜1)， F′(x)＝f′(x)＋f′·＝， 由于ex＞ex⇒ex＋x＞ex＋x＝(e＋1)x，又函数y＝xe在(0，1)上单调递减， ∴xe＞e⇒－xe－1＜－e－