第9章 5 课时2 直线与椭圆-（课件+达标训练）2023老教材老高考数学（理）【导学教程】新编大一轮总复习（人教A版）

保分练 1．直线y＝x＋2与椭圆＋＝1有两个公共点，则m的取值范围是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,3)∪(3，＋∞) C．(3，＋∞) D．(0,3)∪(3，＋∞) 解析　由 得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0. 由Δ＞0且m≠3及m＞0， 得m＞1且m≠3.故选B. 答案　B 2．直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　) A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 解析　由题意得直线y－1＝k(x－1)恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆＋＝1的内部，所以直线与椭圆相交． 答案　A 3．直线y＝kx＋1，当k变化时，此直线被椭圆＋y2＝1截得的最大弦长是(　　) A．2 B. C．4 D．不能确定 解析　直线恒过定点(0,1)，且点(0,1)在椭圆上，可设另外一个交点为(x，y)， 则弦长为＝＝， 当y＝－时，弦长最大为. 答案　B 4．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点，若AB的中点为M(1，－1)，则椭圆E的方程为(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析　kAB＝＝，kOM＝－1， 由kAB·kOM＝－，得＝，∴a2＝2b2. ∵c＝3，∴a2＝18，b2＝9， ∴椭圆E的方程为＋＝1 答案　D 5．已知椭圆＋＝1以及椭圆内一点P(4,2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析　设弦所在直线的斜率为k，弦的端点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1＋x2＝8，y1＋y2＝4， 两式相减，得 ＋＝0， 所以＝－， 所以k＝＝－. 经检验，k＝－满足题意． 故弦所在直线的斜率为－. 答案　B 6．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是________ . 解析　设直线与椭圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别代入椭圆方程，由点差法可知yM＝－xM，代入k＝1，M(－4,1)，解得＝，e＝＝. 答案　 7．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y＝k(x－1)与椭圆C交于不同的两点M，N. (1)求椭圆C的方程； (2)当△AMN的面积为时，求k的值． 解析　(1)由题意得得b＝， 所以椭圆C的方程为＋＝1. (2)由 得(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－4＝0. 设点M，N的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 则x1＋x2＝，x1x2＝， 所以|MN|＝ ＝ ＝. 又点A(2,0)到直线y＝k(x－1)的距离d＝， 所以△AMN的面积S＝|MN|·d＝， 由＝，得k＝±1，满足Δ>0. 所以当△AMN的面积为时，k＝±1. 8．设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，E的离心率为，点(0,1)是E上一点． (1)求椭圆E的方程； (2)过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，且＝2，求直线BF2的方程． 解析　(1)由题意知，b＝1，且e2＝＝＝， 解得a2＝2，所以椭圆E的方程为＋y2＝1. (2)由题意知，直线AB的斜率存在且不为0，故可设直线AB的方程为x＝my－1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得(m2＋2)y2－2my－1＝0， 则y1＋y2＝，　① y1y2＝－，　② 因为F1(－1,0)， 所以＝(－1－x2，－y2)，＝(x1＋1，y1)， 由＝2，可得－y2＝2y1，　③ 由①②③，可得B，则kBF2＝或－， 所以直线BF2的方程为 x－6y－＝0或x＋6y－＝0. 提升练 9．已知P(x0，y0)是椭圆C：＋y2＝1上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若·＜0，则x0的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析　由题意可知F1(－，0)，F2(，0)，则·＝(x0＋)(x0－)＋y＝x＋y－3<0.因为点P在椭圆上，所以y＝1－.所以x＋－3<0，解得－<x0<，即x0的取值范围是. 答案　A 10．与椭圆＋y2＝1有相同的焦点且与直线l：x－y＋3＝0相切的椭圆的离心率为________ . 解析　因为所求椭圆与椭圆＋y2＝1有相同的焦点，所以可设所求椭圆的方程为＋＝1(a>1)，联立方程组⇒(2a2－1)x2＋6a2x＋10a2－a4＝0， 因为直线l与椭圆相切， 所以Δ＝36a4－4(2a2－1)(10a2－a4)＝0， 化简得a4－6a2＋5＝0，即a2＝5或a2＝1(舍)， 则a＝.又c＝1，所以e＝＝＝. 答案　 11．已知F1，F2分别为椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，点P是椭圆上位于第二象限内的点，延长PF1交椭圆于点Q，若PF2⊥PQ，且|PF2|