第七章 第五节　直接证明与间接证明、数学归纳法-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P353] [保分练] 1．用反证法证明命题“设f(x)＝x3＋3|x－a|(a∈R)为实数，则方程f(x)＝0至少有一个实根”时，正确的假设是(　　) A．方程f(x)＝0没有实根 B．方程f(x)＝0至多有一个实根 C．方程f(x)＝0至多有两个实根 D．方程f(x)＝0恰好有两个实根 解析　由反证法证明命题的格式和步骤，可知应设方程f(x)＝0没有实根，故应选A. 答案　A 2．在△ABC中，sin Asin C<cos Acos C，则△ABC一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 解析　由sin Asin C<cos Acos C， 得cos Acos C－sin Asin C>0， 即cos(A＋C)>0，所以A＋C是锐角， 从而B>，故△ABC必是钝角三角形． 答案　C 3．分析法又称执果索因法，已知x>0，用分析法证明<1＋时，索的因是(　　) A．x2>2 B．x2>4 C．x2>0 D．x2>1 解析　因为x>0， 所以要证<1＋， 只需证()2<2，即证0<， 即证x2>0， 因为x>0，所以x2>0成立，故原不等式成立． 答案　C 4．若<<0，则下列结论不正确的是(　　) A．a2<b2 B．ab<b2 C．a＋b<0 D．|a|＋|b|>|a＋b| 解析　∵<<0，∴0>a>b. ∴a2<b2，ab<b2，a＋b<0，|a|＋|b|＝|a＋b|. 答案　D 5．利用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)，n∈N*”时，从“n＝k”变到“n＝k＋1”时，左边应增乘的因式是(　　) A．2k＋1 B．2(2k＋1) C. D． 解析　当n＝k(k∈N*)时， 左式为(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)； 当n＝k＋1时，左式为(k＋1＋1)·(k＋1＋2)·…·(k＋1＋k－1)·(k＋1＋k)·(k＋1＋k＋1)， 则左边应增乘的式子是＝2(2k＋1)． 答案　B 6．用反证法证明“若x2－1＝0，则x＝－1或x＝1”时，应假设____________． 解析　“x＝－1或x＝1”的否定是“x≠－1且x≠1”． 答案　x≠－1且x≠1 7．设a>b>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是________． 解析　(分析法)－<⇐<＋⇐a<b＋2·＋a－b⇐2·>0，显然成立． 答案　m<n 8．若二次函数f(x)＝4x2－2(p－2)x－2p2－p＋1在区间[－1,1]内至少存在一点c，使f(c)>0，则实数p的取值范围是________． 解析　令解得p≤－3或p≥，故满足条件的p的取值范围为. 答案　 9．已知x，y，z是互不相等的正数，且x＋y＋z＝1，求证：>8. 证明　因为x，y，z是互不相等的正数， 且x＋y＋z＝1， 所以－1＝＝>，　① －1＝＝>，　② －1＝＝>，　③ 又x，y，z为正数，由①×②×③， 得>8. 10．已知数列{an}的前n项和Sn＝，n∈N*. (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． 解析　(1)由Sn＝，得a1＝S1＝1， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2，当n＝1时也适合． 所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2. (2)证明　要使得a1，an，am成等比数列， 只需要a＝a1·am，即(3n－2)2＝1·(3m－2)， 即m＝3n2－4n＋2，而此时m∈N*，且m>n. 所以对任意的n>1，都存在m∈N*，使得a1，an，am成等比数列． [提升练] 11．已知a，b，c∈R，若·>1且＋≥－2，则下列结论成立的是(　　) A．a，b，c同号 B．b，c同号，a与它们异号 C．a，c同号，b与它们异号 D．b，c同号，a与b，c的符号关系不确定 解析　由·>1知与同号，若>0且>0，不等式＋≥－2显然成立，若<0且<0，则－>0，－>0，＋≥2>2，即＋<－2，这与＋≥－2矛盾，故>0且>0，即a，b，c同号． 答案　A 12．设a，b是两个实数，给出下列条件： ①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1. 其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件序号是________． 解析　若a＝，b＝，则a＋b>1，但a<1，b<1，故①推不出； 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出； 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出； 若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出； 对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1， 下面用反证法证明：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b>2矛盾，因此假设不成立，故a，b中至