第九章 第三节　圆的方程-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P373] [保分练] 1．圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a＝(　　) A．－ B．－ C. D．2 解析　由题意可知，圆心为(1,4)，所以圆心到直线的距离d＝＝1，解得a＝－.故选A. 答案　A 2．圆(x－3)2＋(y－1)2＝5关于直线y＝－x对称的圆的方程为(　　) A．(x＋3)2＋(y－1)2＝5 B．(x－1)2＋(y－3)2＝5 C．(x＋1)2＋(y＋3)2＝5 D．(x－1)2＋(y＋3)2＝5 解析　由题意知，所求圆的圆心坐标为(－1，－3)，半径为，所以所求圆的方程为(x＋1)2＋(y＋3)2＝5，故选C. 答案　C 3．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任意一点连接的线段的中点的轨迹方程为(　　) A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4 C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1 解析　设中点为A(x，y)，圆上任意一点为B(x′，y′)，由题意得则故(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故选A. 答案　A 4．已知圆C截两坐标轴所得弦长相等，且圆C过点(－1,0)和(2,3)，则圆C的半径为(　　) A．8 B．2 C．5 D． 解析　法一　设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)． ∵圆C经过点(－1,0)和(2,3)， ∴ ∴a＋b－2＝0，　① 又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴|a|＝|b|，　② 由①②得a＝b＝1，∴圆C的半径为，故选D. 法二　∵圆C经过点M(－1,0)和N(2,3)，∴圆心C在线段MN的垂直平分线y＝－x＋2上，又圆C截两坐标轴所得弦长相等，∴圆心C到两坐标的距离相等，∴圆心C在直线y＝±x上，∵直线y＝－x和直线y＝－x＋2平行，∴圆心C为直线y＝x和直线y＝－x＋2的交点(1,1)，∴圆C的半径为，故选D. 答案　D 5．若圆心在x轴上，半径为的圆O′位于y轴左侧，且与直线x＋2y＝0相切，则圆O′的方程是(　　) A．(x－5)2＋y2＝5或(x＋5)2＋y2＝5 B．(x＋)2＋y2＝5 C．(x－5)2＋y2＝5 D．(x＋5)2＋y2＝5 解析　设圆心坐标为(a,0)(a<0)，因为圆与直线x＋2y＝0相切，所以＝，解得a＝－5，因此圆的方程为(x＋5)2＋y2＝5. 答案　D 6．已知三点A(1,0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为________． 解析　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)， ∴解得 ∴△ABC外接圆的圆心为， 故△ABC外接圆的圆心到原点的距离为＝. 答案　 7．在平面直角坐标系内，若曲线C：x2＋y2＋2ax－4ay＋5a2－4＝0上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为________． 解析　圆C的标准方程为(x＋a)2＋(y－2a)2＝4，所以圆心为(－a,2a)，半径r＝2，故由题意知解得a＜－2，故实数a的取值范围为(－∞，－2)． 答案　(－∞，－2) 8．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的方程为________________． 解析　因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a>0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝9. 答案　(x－2)2＋y2＝9 9．已知以点P为圆心的圆经过点A(－1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝4. (1)求直线CD的方程； (2)求圆P的方程． 解析　(1)直线AB的斜率k＝1，AB的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD的方程为y－2＝－(x－1)， 即x＋y－3＝0. (2)设圆心P(a，b)，则由P在CD上得a＋b－3＝0.　① 又直径|CD|＝4， 所以|PA|＝2. 所以(a＋1)2＋b2＝40.　② 由①②解得或 所以圆心P(－3,6)或P(5，－2)． 所以圆P的方程为(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40. [提升练] 10．方程|y|－1＝表示的曲线是(　　) A．一个椭圆 B．一个圆 C．两个圆 D．两个半圆 解析　由题意知|y|－1≥0，则y≥1或y≤－1，当y≥1时，原方程可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1(y≥1)，其表示以(1,1)为圆心、1为半径、直线y＝1上方的半圆；当y≤－1时，原方程可化为(x－1)2＋(y＋1)2＝1(y≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y