第八章 第五节　直线、平面垂直的判定与性质-（达标训练）【导学教程】2024旧教材老高考数学新编大一轮总复习（人教A版理科）

[对应学生用书P363] [保分练] 1．如图，在以下四个正方体中，直线AB与平面CDE垂直的是(　　) A．①② B．②④ C．①③ D．②③ 解析　对于①，易证AB与CE所成角为45°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于②，易证AB⊥CE，AB⊥ED，且CE∩ED＝E，则AB⊥平面CDE；对于③，易证AB与CE所成角为60°，则直线AB与平面CDE不垂直；对于④，易证ED⊥平面ABC，则ED⊥AB，同理EC⊥AB，可得AB⊥平面CDE.故选B. 答案　B 2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且直线m⊂α，直线n⊂β，则下列命题为真命题的是(　　) A．“m⊥n”是“n⊥α”的充分条件 B．“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件 C．“α∥β”是“m∥n”的充要条件 D．“m⊥n”是“α⊥β”的必要条件 解析　n⊥α能得到n⊥m，但n⊥m不能得出n⊥α，A错误；m∥n时，m也可能在平面β内，不能得出m∥β，反之，m∥β，β内的直线也不一定与m平行，即不能得出m∥n，∴“m∥n”是“m∥β”的既不充分也不必要条件，B正确；α∥β时，m，n可能是异面直线，不一定平行，m∥n时，α，β也可能相交，不一定平行，C错误；两个平面垂直，分别在这两个平面内的两条直线可能相交，可能平行，不一定垂直，D错误． 答案　B 3．如图，在斜三棱柱ABC­A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A．直线AB上 B．直线BC上 C．直线AC上 D．△ABC内部 解析　由AC⊥AB，AC⊥BC1，得AC⊥平面ABC1.因为AC⊂平面ABC，所以平面ABC1⊥平面ABC.所以C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上． 答案　A 4.如图，在正四面体P­ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC 解析　因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF， 所以BC∥平面PDF，故选项A正确； 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E， 且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE， 因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE， 又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE. 因此选项B，C均正确． 答案　D 5．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹为(　　) A．线段B1C B．线段BC1 C．BB1的中点与CC1的中点连成的线段 D．BC的中点与B1C1的中点连成的线段 解析　如图，连接AC，AB1，B1C，在正方体ABCD­A1B1C1D1中， 有BD1⊥平面ACB1，因为AP⊥BD1，所以AP⊂平面ACB1，又点P在侧面BCC1B1及其边界上运动， ∴点P的轨迹为平面ACB1与平面BCC1B1的交线段CB1. 答案　A 6．已知△ABC在平面α内，∠A＝90°，DA⊥平面α，则直线CA与DB的位置关系是________． 解析　∵DA⊥平面α，AC⊂平面α，∴DA⊥CA， 在△ABC中，∵∠A＝90°，∴AB⊥CA， 且DA∩BA＝A，DA，BA⊂平面ADB， ∴CA⊥平面DAB，DB⊂平面DAB， ∴CA⊥DB. 答案　垂直 7．已知平面α，β和直线m，给出以下条件：(1)m∥α；(2)m⊥α；(3)m⊂α；(4)α⊥β；(5)α∥β，当条件________成立时，有m∥β；当条件________成立时，有m⊥β.(填所选条件的序号) 解析　根据面面平行的特征可得，若m⊂α，α∥β， 则m∥β； 根据线面垂直以及面面平行的特征可得， 若m⊥α，α∥β，则m⊥β. 答案　(3)(5)　(2)(5) 8．如图，在棱长为2的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上．点P到直线CC1的距离的最小值为________． 解析　点P到直线CC1的距离等于点P在平面ABCD上的射影到点C的距离，设点P在平面ABCD上的射影为P′，显然点P到直线CC1的距离的最小值为P′C的长度的最小值．当P′C⊥DE时，P′C的长度最小，此时P′C＝＝. 答案　 9.如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证： (1)PE⊥BC； (2)平面PAB⊥平面PCD； (3)EF∥平面PCD. 证明　(1)因为PA＝PD，E为AD的中点， 所以PE⊥AD. 因为底面ABCD为矩形， 所以BC∥AD，所以PE⊥BC. (2)因为底面ABCD为矩形，所以AB