专题09 三角形中位线题型方法归纳（5大类型）-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（浙教版）

专题09 三角形中位线题型方法归纳（5大类型） 知识梳理 1.三角形定义： 三角形中位线定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线． 如图：DE是△ABC的中位线。 符号语言 说明：（1）一个三角形有3条中位线 （2）定义有双重性：即是性质，也是判定 （3）注意与三角形中线的区别：要把三角形的中位线与三角形的中线区分开．三角形中线是连结一顶点和它对边的中点，而三角形中位线是连结三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的的线段． 2.三角形中位线性质定理 定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半 符号语言：（重点，书上记了） 说明：（1）作用：证明平行关系，倍分关系；转移线段，转移角。 （2）常用辅助线：见中点，构造中位线。 （3）分离基本图形：全等，平行四边形 证明（转化思想，常用辅助线） 证明1： 如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF.-------（中线加倍，构造全等） ∵DE=EF ∠AED=∠CEF AE=EC ∴△ADE ≌ △CFE（SAS） ∴AD=FC ∠A=∠ECF ∴AB∥FC 又∵AD=DB ∴BD∥CF，BD=CF ∴四边形BCFD是平行四边形 ∴DE∥BC 且 DE=1/2BC 证明2： 如图，延 长DE 到 F，使EF=DE ，连 结CF、DC、AF ∵AE=CE DE=EF ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴AD∥CF,AD=CF ∵AD=BD ∴BD∥CF,BD=CF ∴四边形BCFD为平行四边形 ∴BC∥DF,BC=DF ∴DE∥BC 且 DE=1/2BC 3. 中位线的应用： （1）中点三角形 定义：中点三角形就是把一个三角形的三边中点顺次连接起来的一个新三角形. 性质：（1）这个新三角形的各个边长分别是原来三角形三边长的一半且分别平行，角的度数与原三角形分别相等，4个三角形都全等 （2）中点三角形周长是原三角形的周长一半。 （3）中点三角形面积是原三角形面积的四分之一。 补充：中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。 （2）中点四边形 定义：依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。中点四边形的形状与原四边形的对角线的数量和位置关系有关。 性质（1）不管原四边形的形状怎样改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。 证明：连接AC,BD-----------（连对角线，构造中位线） ∵E,H,G,F是边AB,AD,DC,BC中点 ∴EH,GF是△ABD,BCD的中位线 ∴EH=1/2BD,GF=1/2BD,EH//BD,GF//BD ∴EH平行等于GF ∴EFGH是平行四边形 （2）中的四边形周长是原四边形对角线之和。 （3）中点四边形面积是原四边形面积的二分之一。 结论： 任意四边形中点连线连成的四边形总是平行四边形，菱形中点连线所得的图形是矩形，正方形中点连线所得的图形是正方形，矩形中点连线所得的图形是菱形，等腰梯形中点连线所得的图形是菱形。这个定义同样适用于凹四边形和折四边形。 总结为： 任意四边形-------平行四边形 平行四边形-------平行四边形 矩形-------菱形 菱形-------矩形 正方形-------正方形 等腰梯形-------菱 规律：顺次连接各边中点所得的四边形(中点四边形只与原四边形的对角线有关） 若原四边形对角线相等,则中点四边形为菱形; 若原四边形对角线互相垂直,则中点四边形为矩形; 若原四边形对角线互相垂直又相等,则中点四边形为正方形. 所以: (1)平行四边形的对角线没有以上特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形; (2)直角梯形对角线也没有上面的特殊关系,故其中点四边形还是平行四边形; (3)等腰梯形的对角线相等,故其中点四边形为菱形. 结论：经过三角形一边的中点，且与另一边平行的直线，必平分三角形的第三边。（6种中辅助线方法，掌握本质） 辅助线本质：通过添加辅助线，构造基本图形典例分析 【典例1】（2023春•广水市月考）如图，D、E、F分别是△ABC三边的中点，若∠A＝60°，∠B＝45°，则∠EDF的度数为（　　） A．45° B．60° C．75° D．80° 【变式1-1】（2023春•沭阳县月考）如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，若DE＝2，则BC的长度为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】（2022•湖北模拟）如图，点D，E，F分别是△ABC三边的中点，若△ABC的周长为20，则△DEF的周长为（　　） A．25 B．15 C．10 D．5 【典例2】（2023春•江阴市校级月考）已知：如图，AD、BE分别是△ABC的中线和角平分线，AD⊥BE，AD＝BE＝6，求AC的长为（　　） A．10 B． C． D． 【变