第二部分 专题四 图形的变换-【优+学案·赢在中考】2023年中考数学总复习山东专用

专题四 图形的变换 变换操作型问题是指通过动手折叠、翻转、 剪裁、拼接等过程,猜想数学结论并进一步解决 问题的研究性问题.此类问题注重探究过程,能 获得数学活动经验,有助于实践能力和创新能 力的培养,更有助于养成实验研究的习惯,符合 新课标理念与目标,为中考热点试题.但在中考 中,由于受考场背景的影响,基本无法亲自动手 实验,只能通过思维和空间想象力去理解,猜想 其中的结论或规律.解决此类问题,可以结合动 手画图的方法,将操作过程展开在图上,结合操 作过程中的规律去解决. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型一 折叠操作题 此类题以三角形、四边形、圆等图形折叠为 背景,考查轴对称的性质,相关几何图形的性 质,以及空间想象能力,分类讨论能力.折叠属 于轴对称变换,因此解决相关问题需要用到轴 对称的性质,以从中找到相等的线段或角,并进 一步利用相关图形的性质解决问题. 【例1】(2020·山东青岛中考第7题3分) 如图所示,将矩形ABCD 折叠,使点C 和点A 重合,折 痕 为 EF,EF 与 AC 交 于 点O.若 AE=5,BF=3,则AO 的长为( ) A.5 B. 3 25 C.25 D.45 思路分析 ∵四 边 形 ABCD 是 矩 形, ∴AD∥BC,AD=BC,AB=CD,∴∠EFC= ∠AEF.由折叠得∠EFC=∠AFE,∴∠AFE= ∠AEF,∴AE=AF=5.由折叠得 AF=FC, OA=OC,∴BC=3+5=8.在Rt△ABF 中, AB= 52-32 =4,在 Rt△ABC 中,AC= 42+82=45,∴OA=OC=25. 答案 C 【变式训练1】(2020·山东滨州中考第12 题3分)如图所示,对折矩形纸片 ABCD,使 AD 与BC 重合,得到折痕EF,把纸片展平后 再次折叠,使点A 落在EF 上的点A'处,得到 折痕BM,BM 与EF 相交于点N.若直线BA' 交直线CD 于点O,BC=5,EN=1,则OD 的 长为( ) A. 1 23 B. 1 33 C. 1 43 D. 1 53 类型二 旋转操作题 此类题同折叠类题类似,以各类图形的旋 转为背景,考查旋转的性质,以及相关图形的性 质.动手操作找到图形旋转过程中呈现的规律 是解此类题的关键,而化动为静,找到运动过程 中临界状态,再利用相关知识解答是解答此类 题的策略. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 156 第二部分 专题突破 【例2】 【问题探究】 (1)如图①所示,△ABC 和△DEC 均为等 腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B, D,E 在同一直线上,连接AD,BD. ①请探究 AD 与BD 之间的位置关系: ; ②若AC=BC= 10,DC=CE= 2,则线 段AD 的长为 . 【拓展延伸】 (2)如图②所示,△ABC 和△DEC 均为直角 三角形,∠ACB=∠DCE=90°,AC= 21,BC= 7,CD=3,CE=1.将△DCE 绕点C 在平面内 顺时针旋转,设旋转角∠BCD 为α(0°≤α<360°), 作直线BD,连接AD,当点B,D,E 在同一直线 上时,画出图形,并求线段AD 的长. 思路分析 (1)①△BCE 可看作由△ACD 绕点C 顺时针旋转90°得到,因此两三角形的对 应边都分别互相垂直,AD 与BD 之间也存在 这种垂直关系.还可通过全等三角形的性质与 判定证明; ②过点C 作CF⊥AD 于点F,在Rt△ACF 与Rt△CDF 中,利用勾股定理可求出 AF,FD 的长,再由AD=AF+FD 求解. (2)此题是(1)的一般化与深入,△ACD 与 △BCE 由全等关系化为更为一般的相似关系, 由此利用相似三角形的对应边成比例可得线段 间的数量关系,并用类似于(1)的方法可获解. 注意点B,D,E 在同一直线上的情形有两种, 因此此题有两种情况. 解 (1)①AD⊥BD ②4 (2)分以下两种情况讨论: ①如图①所示,点D 在BC 的右侧时. ∵∠ACB = ∠DCE =90°,AC = 21, BC= 7,CD= 3,CE=1, ∴AB=27,DE=2,∠ACD=∠BCE, AC DC= BC CE= 7.∴△AC