第二部分 专题七 动态探究题-【优+学案·赢在中考】2023年中考数学总复习山东专用

专题七 动态探究题 动态探究问题是指以运动的观点来探究图 形变化规律的问题,其特点是图形中的某个元 素(点、线、角等)或整个图形按某种规律运动, 同时图形中的各个元素在运动变化过程中又互 相依存.对于动态综合型问题,要注意用运动与 变化的眼光去观察和研究,把握运动变化的全 过程,关注一些不变的量、不变的关系,善于化 动为静,由特殊情形(特殊点、特殊值、特殊位 置、特殊图形等)逐步过渡到一般情形,综合运 用各种相关知识及类比、数形结合、分类讨论、 转化、化归、函数方程等数学思想加以解决. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型一 动点探究题 动点问题的探究分两种:一是无速度的动 点问题,二是有速度的动点问题. 解决动点问题的策略: 1.化动为静.整体把握命题条件及相关几 何图形的变换,抓住在运动变化过程中的某一 瞬间,尤其注意在特殊位置时的瞬间,探究解决 问题,即化动为静,以静制动,静中求解. 2.动中觅静.挖掘运动变化过程中的不变 量、不变关系,在运动变化中探索问题中的不 变性. 3.以动制动.发现运动变化过程中的变量, 建立变量间的函数关系,利用函数的性质解决 问题.其中求函数解析式的方法有:应用比例式 建立函数解析式,应用求图形面积的方法建立 函数关系式等. 4.分类讨论.以特殊位置为界,分类讨论各 种情况,最后通过汇总得到结论. 【例 1】在 Rt△OAB 中,∠OAB=90°, ∠ABO=30°,斜边OB=4,将Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转60°,如图①所示,连接BC. (1)填空:∠OBC= °. (2)如图①所示,连接AC,作OP⊥AC,垂 足为点P,求OP 的长度. (3)如图②所示,点 M,N 同时从点O 出 发,在△OCB 边上运动,点 M 沿O→C→B 路 径匀速运动,点N 沿O→B→C 路径匀速运动, 当两点相遇时运动停止.已知点 M 的运动速度 为1.5个单位长度/秒,点 N 的运动速度为 1个单位长度/秒.设运动时间为x 秒,△OMN 的面积为y,当x 为何值时y 取得最大值? 最 大值为多少? 思路分析 (1)只要证明△OBC 是等边三角 形即可. (2)利用面积法巧妙解决. (3)由双动点引发图形面积的变化,从而产 生函数关系,进而利用函数的增减性确定最值. 解 (1)60 (2)∵OB=4,∠ABO=30°,∠OAB=90°, ∴OA= 1 2OB=2 ,AB= 3OA=23. ∴S△AOB= 1 2 ·OA·AB= 1 2×2×23=23. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 165 专题七 动态探究题 ∵OB=OC,∠BOC=60°, ∴△BOC 是等边三角形, ∴∠OBC=60°,BC=OB=4. ∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°. ∴AC= AB2+BC2=27. ∵∠OAB+∠ABC=180°,∴AO∥BC. ∴S△OAC=S△OAB=23. ∵S△OAC= 1 2 ·AC·OP, ∴OP= 2S△OAB AC = 43 27 = 2 21 7 . (3)①当0<x≤ 8 3 时,点 M 在OC 上运动, 点 N 在OB 上运动,此时过点 N 作NE⊥OC 于点E,如图①所示,则 NE=ON·sin 60°= 3 2x.∴S△OMN= 1 2 ·OM·NE= 1 2×1.5x× 3 2x ,即y= 33 8x 2.∴当x= 8 3 时,y 有最大值, 最大值为 8 33 ; ②当 8 3<x≤4 时,点 M 在BC 上运动,点 N 在OB 上运动,作MH⊥OB 于点H,如图②所 示,则BM=8-1.5x,MH =BM ·sin 60°= 3 2 (8-1.5x).∴y= 1 2 ·ON ·MH= 1 2x · 3 2 · (8- 1.5x)= - 33 8 x 2 +2 3x= - 33 8 x- 8 3 2 + 83 3 . 当x= 8 3 时,y 有最大 值,最大值为8 33. ∵ 8 3<x≤4 ,∴y 的最大值小于 8 33 ; ③当4<x≤4.8时,点 M,N 都在BC 上 运动,作 OG⊥BC 于 点 G,如 图③所 示.则 MN=12-2.5x,OG=AB=23.∴y= 1 2 · MN·O