第二部分 专题六 动点最值-【优+学案·赢在中考】2023年中考数学总复习山东专用

专题六 动点最值 解决几何动点最值问题的理论依据: 1.两点之间,线段最短. 2.垂线段最短(直线外一点与直线上各点 连接的所有线段中,垂线段最短). 3.三角形三边关系(在一个三角形中,任意 两边之和大于第三边,任意两边之差小于第 三边). 解决几何最值问题的通常思路: 1.分析定点、动点,寻找不变特征. 2.若属于常见模型、结构,调用模型、结构 解决问题;若不属于常见模型,结合所求目标, 依据不变特征转化,借助基本定理解决问题. 3.转化原则:尽量减少变量,向定点、定线 段、定图形靠拢. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型一 单动点型 所谓的单动点型,指所求线段两端点中只 有一个动点的最值问题.通常解决这类问题的 思考步骤为三步: (一)分析“源动点”的不变量. (二)分析“从动点”与“源动点”间的关系. (三)分析“从动点”的不变量. 【例1】(2020·陕西西安雁塔期 末)如 图 所 示,在Rt△ABC 中, ∠C=90°,AC=4,BC=3,点P 为 边AC 上的动点,过点P 作PD⊥AB 于点D,则PB+PD 的最小值为 . 思路分析 如图所示,作点 B 关 于 AC 的 对 称 点B',过 点 B'作B'D⊥AB 于点D,交 AC 于点P,点P 即为所求作的点,此时PB+PD 有最 小 值,连 接 AB',根 据 对 称 的 性 质,可 得 BP=B'P.在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°, AC=4,BC=3,∴AB = AC2+BC2 =5. ∵AC=AC,∠ACB= ∠ACB',BC=B'C, ∴△ABC ≌ △AB'C (SAS),∴S△ABB' = S△ABC+S△AB'C=2S△ABC,即 1 2AB ·B'D=2× 1 2BC ·AC,∴B'D= 24 5. 即 PB+PD 的最小 值为 24 5. 答案 24 5 类型二 双动点型 解决双动点问题的常用方法是转化为单动 点问题,接着再用单动点的方法解决线段最值 问题.有这样一类双动点,它是由某一动点所产 生的,同样就可用“源动点”和“从动点”的分析 方法来处理,现总结解答的前三个步骤: (一)分析“源动点”的不变量. (二)分析“双动点”与“源动点”间的关系. (三)转化为单动点问题.显然确定“双动 点”与“源动点”间的关系是实现转化的关键. 【例2】如图所示,在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,经 过点C 且与边AB 相切于点E 的 动圆与CA,CB 分别相交于点P,Q,则线段 PQ 长度的最小值是 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 163 专题六 动点最值 思路分析 本题的双动点P,Q 可看成由 “源动点”E 产生.设圆的圆心为O.第一步,“源 动点”E 在定边AB 上运动,且保持OE⊥AB. 第二步,双动点PQ 是圆上的动弦且所对圆周 角为直角,因此PQ 为☉O 直径.源动点与双动 点满足PQ=CO+OE.第三步,PQ 长转化为 △COE 三边关系,当C,O,E 三点共线时,CE 最短,可转化为“动点轨迹为一条直线的单动点 型”.当CE⊥AB 时,CE 的长度最短,此时PQ 长度最小.S△ABC= 1 2 ·BC·AC= 1 2 ·AB· CE,解得CE=4.8.即线段PQ 长度的最小值 为4.8. 答案 4.8 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 1.(2022·山东德州乐陵模拟)如图所示,在正 方形 ABCD 中,已知边长 AB=5,点E 是 BC 边上一动点(点E 不与B,C 重合),连接 AE,作点B 关于直线AE 的对称点F,则线 段CF 的最小值为( ) A. 5 4 B.52-5C. 52 2 D. 5 2 2.(2021· 广 东 广 州 一 模)如 图 所 示,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,AC=8,BC=3, 点D 是边BC 上动点,连接AD 交以CD 为 直径的圆于点E,则线段 BE 长度的最小 值为 . 第2题图 第3题图 3.(2021·山