第二部分 专题八 二次函数综合题-【优+学案·赢在中考】2023年中考数学总复习山东专用

专题八 二次函数综合题 以二次函数的图象为载体的函数与几何 综合题,在函数图象的基础上,引入几何图形, 综合考查函数、几何图形的知识及数学思想方 法,为压轴题中最重要的题型,在中考中的地 位首屈一指.此类题目已经将代数、几何融为 一体.解决此类问题最重要的方法是数形结 合,要做到数形的灵活转换,能通过量化的方 法解决几何图形问题. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 类型一 最值综合题 以抛物线为载体的几何图形最值综合题, 通常包括线段(周长)最值的求解,面积最值的 求解等.此类问题的解决方法通常是由题意,利 用抛物线的函数解析式设出所求点的坐标,用 其表示线段长,进一步利用面积公式、勾股定 理、相似三角形的对应边成比例、锐角三角函数 等列出二次函数的解析式,进而利用二次函数 的性质解决问题.此外求周长的最小值问题,也 常利用抛物线或平面直角坐标系的轴对称性 解决. 【例1】如图所示,顶点为 M 的抛物线y= ax2+bx+3与x 轴交于A(-1,0),B 两点,与 y 轴交于点C,过点C 作CD⊥y 轴交抛物线于 另一点D,作DE⊥x 轴,垂足为点E.双曲线 y= 6 x (x>0)经过点D,连接 MD,BD. (1)求抛物线的函数解析式. (2)点N,F 分别是x 轴、y 轴上的两点,当 以M,D,N,F 为顶点的四边形周长最小时,求 出点N,F 的坐标. (3)动点P 从点O 出发,以每秒1个单位 长度的速度沿OC 方向运动,运动时间为t s. 当t为何值时,∠BPD 的度数最大? (请直接 写出结果) 思路分析 (1)由题意知,点D 的纵坐标 为3,将其代入反比例函数解析式可求得点 D 坐标,从而可利用待定系数法求出抛物线的函 数解析式. (2)作点 M 关于y 轴的对称点 M',点 D 关于x 轴的对称点D',连接 M'D'交x 轴、y 轴 于点N,F,此时以 M,D,N,F 为顶点的四边 形的周长最小. (3)设P(0,t),作△PBD 的外接圆Q,当 ☉Q 与y 轴相切时,∠BPD 的度数最大. 解 (1)由题意知,点C 的坐标为(0,3),则 点D 的纵坐标为3.把y=3代入y= 6 x ,得x=2. ∴点D 的坐标为(2,3).把点A(-1,0),D(2,3) 代入y=ax2+bx+3,得 0=a-b+3, 3=4a+2b+3, 解得 a=-1, b=2. ∴抛物线的函数解析式为y=-x2+2x+3. (2)∵y=-x2+2x+3=-(x-1)2+4, ∴顶点 M 的坐标为(1,4). ∴点 M 关 于y 轴 的 对 称 点 M'的 坐 标 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 169 专题八 二次函数综合题 为(-1,4). 同理点D 关于x 轴对称的点D'的坐标为 (2,-3). 设直线 M'D'的函数解析式为y=kx+p (k≠0),则 4=-k+p, -3=2k+p, 解得 k=- 7 3 , p= 5 3. 􀮠 􀮢 􀮡 􀪁 􀪁􀪁 􀪁 􀪁􀪁 ∴直线M'D'的函数解析式为y=- 7 3x+ 5 3. 直线M'D'交x 轴于点N 57 ,0 ,交y 轴于 点F0, 5 3 . 此时以 M,D,N,F 为顶点的四边形周长 最小为M'D'+MD,∴点 N 的坐标为 57 ,0 , 点F 的坐标为0, 5 3 . (3)当t=9-215时,∠BPD 的 度 数 最大. 类型二 存在性综合题 以抛物线为载体的几何图形存在性综合题 通常是判断是否存在特殊三角形(等腰、等边、 直角、等腰直角三角形)、相似(或全等)三角形、 特殊四边形(平行四边形、菱形、矩形、正方形) 等.解决存在性综合题的一般步骤为: 1.假设结论成立; 2.确定是否需要分类讨论,若需分类讨论 则根据图形的特点确定分类标准,对问题分情 况分类讨论; 3.结合所有条件进行推理论证,或列式 计算; 4.得出结论. 【例2】(2020·山东烟台中考第25题13 分)如图所示,抛物线y=ax2+bx+2与x 轴 交于A,B 两点,且OA=2OB,与y 轴交于点 C,连接BC,抛物线对称轴为直线x= 1 2 ,D 为 第一象限内抛物线上一动点,过点D 作D