专题1.2 常用逻辑用语-2024年高考数学一轮复习《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（新高考专用）

专题1.2 常用逻辑用语 思维导图 知识点总结 知识点一 充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的 要条件 p⇒q且qp p是q的 条件 pq且q⇒p p是q的 条件 p⇔q p是q的 条件 pq且qp 知识拓展 1．(1)若p是q的充分不必要条件，q是r的充分不必要条件，则p是r的充分不必要条件． (2)若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件． 2．若A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； 知识点二 ．全称量词和存在量词 (1)全称量词有：所有的、任意一个、任给一个，用符号“∀”表示；存在量词有：存在一个、至少有一个、有些，用符号“∃”表示． (2)含有全称量词的命题，叫做全称量词命题．“对M中任意一个x，有p(x)成立”用符号简记为 . (3)含有存在量词的命题，叫做存在量词命题．“存在M中元素x，使p(x)成立”用符号简记为 . 2．含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 知识拓展 1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”． 2．常用的正面叙述词语和它的否定词语 正面 词语 等于(＝) 大于(>) 小于(<) 是 否定 词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不是 正面 词语 都是 任意的 所有的 至多 有一个 至少 有一个 否定 词语 不都是 某个 某些 至少 有两个 一个 也没有 典型例题分析 考向一　充分、必要条件的判断 例1 “x2>4”是“3x>9”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 若l，m是两条不同的直线，α是一个平面，l⊥α，则“l⊥m”是“m∥α”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 　充分、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断． (2)集合法：根据p，q成立时对应的集合之间的包含关系进行判断． 考向二　根据充分、必要条件求参数的范围 例2　已知关于x的不等式(x－a)(x－3)>0成立的一个充分不必要条件是－1<x<1，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－1] B．(－∞，0) C．[2，＋∞) D．[1，＋∞) 1．条件、结论的相对性 充分条件、必要条件是相对的概念，在进行判断时一定要注意哪个是“条件”，哪个是“结论”．要注意条件与结论间的推出方向．如“A是B的充分不必要条件”是指A⇒B但BA；“A的充分不必要条件是B”是指B⇒A但AB.以上两种说法在充要条件的推理判断中经常出现且容易混淆． 2．根据充分、必要条件求解参数范围的方法 (1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解． (2)求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象． 考向三　充要条件的证明与探求 例3　 已知a，b，c均为实数，求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正 考向四　全称量词命题、存在量词命题真假的判断 例4 下列命题中的假命题是(　　) A．∀x∈R，x2≥0 B．∀x∈R,2x－1>0 C．∃x∈R，lg x<1 D．∃x∈R，sinx＋cosx＝2 (多选)下列命题为假命题的是(　　) A．∃x∈R，ln (x2＋1)<0 B．∀x>2,2x>x2 C．∃α，β∈R，sin(α－β)＝sinα－sinβ D．∀x∈(0，π)，sinx>cosx 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 考向五　含有量词的命题的否定 例5 设命题p：任意常数数列都是等比数列，则綈p是(　　) A．所有常数数列都不是等比数列 B．有的常数数列不是等比数列 C．有的等比数列不是常数数列 D．不是常数数列的数列不是等比数列 命题“∃x∈R,1<f(x)≤2”的否定形式是(　　) A．∀x∈R,1<f(x)≤2 B．∃x∈R,1<f(x)≤2 C．∃x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 D．∀x∈R，f(x)≤1或f(x)>2 　写出全称量词命题与存在量词命题的否定的步骤 (1)准确审题：明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，并找到其量词的