压轴题11 导数的综合应用-2023年高考数学压轴题专项训练（全国通用）

压轴题11 导数的综合应用 题型/考向一：导数与不等式的证明 题型/考向二：导数与函数的零点 题型/考向三：不等式恒成立或有解问题 一 导数与不等式的证明 导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等. 利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数. 1．已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若（）是的两个极值点，证明：． 2．设整数，，且，函数． (1)求证：； (2)求证：． 3．已知函数. (1)若函数为增函数，求的取值范围； (2)已知. （i）证明：； （ii）若，证明：. 4．已知函数，． (1)求的单调区间； (2)证明：； (3)设，，证明：． 5．已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求证：当时，； (3)设实数k使得对恒成立，求k的最大值． 二 导数与函数的零点 1.导数与函数的零点问题是高考的热点题型.常见题型： (1) 判断、证明或讨论函数零点的个数； (2)已知零点存在情况求参数范围； (3)函数零点性质研究. 2.三步求解函数零点(方程根)的个数问题. 第一步：将问题转化为函数的零点问题，进而转化为函数的图象与x轴(或直线y＝k)在该区间上的交点问题； 第二步：利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值(最值)、端点值等性质； 第三步：结合图象求解. 3.已知零点求参数的取值范围：(1)结合图象与单调性，分析函数的极值点；(2)依据零点确定极值的范围；(3)对于参数选择恰当的分类标准进行讨论. 6．已知，． (1)讨论的单调性； (2)若有两个零点，求a的取值范围． 7．已知函数． (1)求函数的极值； (2)若函数有两个不相等的零点，． （i）求a的取值范围； （ii）证明：． 8．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求实数a的取值范围. 9．已知函数． (1)当时，求函数在区间上的值域； (2)若函数有三个零点，求实数的取值范围，并求的值． 10．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)讨论函数的零点个数，并证明你的结论. 三 不等式恒成立或有解问题 1.由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 (1)求最值法：将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. (2)分离参数法：将参数分离出来，进而转化为a＞f(x)max或a＜f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. 2.不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 11．设函数． (1)讨论的单调性； (2)若当时，不等式恒成立，求m的取值范围． 12．已知函数． (1)当时，若，求实数m的取值范围； (2)若存在，使得，求实数m的取值范围． 13．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若对任意的，都有成立，求整数的最大值. 14．已知函数． (1)若在上单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，，不等式是否恒成立？并说明理由． 15．已知定义域为D的函数，其导函数为，满足对任意的都有． (1)若，，求实数a的取值范围； (2)证明：方程至多只有一个实根； (3)若，是周期为2的周期函数，证明：对任意的实数，，都有． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴题11 导数的综合应用 题型/考向一：导数与不等式的证明 题型/考向二：导数与函数的零点 题型/考向三：不等式恒成立或有解问题 一 导数与不等式的证明 导数与不等式的交汇命题是高考的热点和难点，在利用导数证明不等式问题中，常用的方法有构造函数、适当换元、合理放缩、利用最值、有界性、不等式及其性质等. 利用导数证明不等式问题的方法 (1)直接构造函数法：证明不等式f(x)＞g(x)(或f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(或f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x). (2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论. (3)构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同结构变形，根据相似结构构造辅助函数. 1．已知函数． (1)若，求在点处的切线方程； (2)若（）是的两个极值点