专题11 导数中的极值偏移问题（全题型压轴题）-【挑战压轴题】备战2023年高考数学高分必刷必过题（新高考版）

专题11 一元函数的导数及其应用 （导数中的极值偏移问题）（全题型压轴题） 导数中的极值偏移问题 ①对称化构造法 ②差值代换法 ③比值代换法 ④对数均值不等式法 ①对称化构造法 1．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底） (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，是的极值点且.若，且. 证明：. 2．（2022·四川泸州·高二期末（文））已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点，求的取值范围； (2)当，，且，求证：. 3．（2022·黑龙江·双鸭山一中高三开学考试）已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，证明：． 4．（2022·江苏·盐城市第一中学高三阶段练习）已知函数f（x）＝ex（lnx+a）． (1)若f（x）是增函数，求实数a的取值范围； (2)若f（x）有两个极值点x1，x2，证明：x1+x2＞2． 5．（2022·广东佛山·高二期末）已知函数，其中． (1)若，求的极值： (2)令函数，若存在，使得，证明：． 6．（2022·甘肃酒泉·模拟预测（文））已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若（为的导函数），方程有两个不等实根、，求证：． 7．（2022·河南·民权县第一高级中学高三阶段练习（理））已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若函数有两个不同的零点，，证明：. 8．（2022·江西·新余市第一中学三模（理））已知函数，.若函数在定义域内有两个不同的极值点. (1)求实数a的取值范围； (2)当时，证明：. ②差值代换法 1．（2022·江苏江苏·高三期末）设f(x)＝xex－mx2，m∈R. (1)设g(x)＝f(x)－2mx，讨论函数y＝g(x)的单调性； (2)若函数y＝f(x)在(0，＋∞)有两个零点x1，x2，证明：x1＋x2＞2. ③比值代换法 1．（2022·河北省唐县第一中学高二阶段练习）已知函数. (1)若有两个零点，的取值范围； (2)若方程有两个实根、，且，证明：. 2．（2022·全国·高三专题练习）设函数为的导函数. (1)求的单调区间； (2)讨论零点的个数； (3)若有两个极值点且，证明：. 3．（2022·四川·阆中中学高二阶段练习（文））已知函数． (1)若函数为增函数，求实数的取值范围； (2)若函数有两个极值点、．求证：． 4．（2022·全国·高二期末）已知函数. (1)求函数的单调区间； (2)若函数的图象与的图象交于，两点，证明：. 5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数. （1）证明：曲线在点处的切线恒过定点； （2）若有两个零点，，且，证明：. 6．（2022·浙江·效实中学高二期中）已知函数有两个零点，. （1）求实数的取值范围； （2）求证：. ④对数均值不等式法 1．（2022·四川南充·高二期末（文））设函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)设，记，当时，若方程有两个不相等的实根，求证：． 2．（2022·四川·树德中学高三阶段练习（理））已知函数． (1)当，和有相同的最小值，求的值； (2)若有两个零点，求证：． 3．（2022·全国·高二专题练习）已知函数． （1）若，求的单调区间； （2）若在上有两个极值点、． ①求实数的取值范围； ②求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 一元函数的导数及其应用 （导数中的极值偏移问题）（全题型压轴题） 导数中的极值偏移问题 ①对称化构造法 ②差值代换法 ③比值代换法 ④对数均值不等式法 ①对称化构造法 1．（2022·广东·深圳外国语学校高三阶段练习）已知函数（其中e为自然对数的底） (1)若在上单调递增，求实数a的取值范围； (2)若，是的极值点且.若，且. 证明：. 【答案】(1) (2)见解析 （1） 因为在上单调递增，所以在恒成立， 所以在恒成立， 令，， ①当时，在恒成立，在上单调递增， 所以，所以满足题意. ②当时，令，则. (i)，所以，在单调递增， 所以，所以满足题意. （ii），在上单调递减，在上单调递增， 所以， 令，， 所以在恒成立，所以在上单调递减， 而，所以不成立. 所以实数a的取值范围为：. （2） ，， 因为是的极值点，所以满足， 令，则若，解得， 所以当时，，当时，， 所以，， 所以是唯一负极值点，且在上单调递增，在上单调递减， 要证明，即证明， 化简得，由于在上单调递增， 且由，，可知. 故， 从而可推得，而， 因此. 令， 则， ， 而，所以， 故单调递增，从而，即， 从而，即证得. 2．（2022·四川泸州·高二期末（文））已知函数，e为自然对数的底数. (1)若函数在上有零点