第二章 第4讲 幂函数与二次函数-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习·理科数学［全国统考版］ 第4讲　幂函数与二次函数 1．幂函数 (1)定义：形如y＝xα的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1. (2)常见的五种幂函数的图象 (3)性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义． ②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增． ③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 图象 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c (a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c (a<0) 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减； 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增； 在x∈上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 1．幂函数的图象特征 (1)在(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越接近x轴(简记为“指大图低”)． (2)在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)． 2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． (3)两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 3．一元二次不等式恒成立的条件 (1)“ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a>0且Δ<0”． (2)“ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立”的充要条件是“a<0且Δ<0”． 4．二次函数图象的对称轴 二次函数y＝f(x)对定义域内的所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立的充要条件是函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称(a为常数)． 5．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，则二次函数在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f(－)． (2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}． 另外，当二次函数的图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数的图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小． 1．已知幂函数f(x)的图象经过点，则f(x)为(　　) A．偶函数 B．奇函数 C．定义域内的增函数 D．定义域内的减函数 答案　D 解析　设幂函数f(x)＝xα，∵其图象过点，∴2α＝＝2－，解得α＝－，∴f(x)＝x－，∴f(x)在(0，＋∞)上为减函数．故选D. 2．若函数y＝x2－2tx＋3在[1，＋∞)上为增函数，则t的取值范围是(　　) A．(－∞，1] B．[1，＋∞) C．(－∞，－1] D．[－1，＋∞) 答案　A 解析　∵函数y＝x2－2tx＋3的图象关于直线x＝t对称，且开口向上，∴t≤1.故选A. 3．(2023·河南周口模拟)已知函数f(x)＝3x2－2(m＋3)x＋m＋3的值域为[0，＋∞)，则实数m的取值范围为(　　) A．{0，－3} B．[－3，0] C．{0，3} D．(－∞，－3]∪[0，＋∞) 答案　A 解析　依题意，Δ＝4(m＋3)2－4×3(m＋3)＝0，则m＝0或m＝－3.所以实数m的取值范围是{0，－3}． 4．函数g(x)＝x2－2x(x∈[0，3])的值域是________． 答案　[－1，3] 解析　∵g(x)＝(x－1)2－1，∴g(x)min＝g(1)＝－1，g(x)max＝g(3)＝3.∴所求值域为[－1，3]． 5．已知α∈.若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则α＝________． 答案　－1 解析　∵幂函数f(x)＝xα为奇函数，∴α可取－1，1，3，又f(x)＝xα在(0，＋∞)上单调递减，∴α<0，故α＝－1. 6．(2023·广西南宁模拟)若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0，1]恒成立，则m的取值范围为________． 答案　(－∞，－3] 解析　只需要在x∈(0，1]时，(x2－4x)min≥m即可．因为函数f(x)＝x2－4x在(0，1]上为减函数，所以当x＝1时，(x2－4x)min＝1－4＝－3，所以m≤－3. 考向一　幂函数的图象与性质 例1　(1)若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd，在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　) A．d>c>b>a