第十一章 第7讲 离散型随机变量及分布列-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第7讲　离散型随机变量及分布列 1．随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，常用字母X，Y，ξ，η，…表示． 2．离散型随机变量 所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 3．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则下表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (2)离散型随机变量的分布列的性质 ①pi≥0(i＝1,2，…，n)； ②i＝1. 4．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，即其分布列为，其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件{X＝k}发生的概率为P(X＝k)＝，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*，称分布列为超几何分布列． X 0 1 … m P … 1．随机变量的线性关系 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．分布列性质的两个作用 (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值． (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 1．(2022·四川乐山联考)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ＞4”表示的试验结果是(　　) A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点 C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点 答案　D 解析　“ξ>4”表示的试验结果只能是ξ＝5，即第一枚6点，第二枚1点．故选D. 2．某人在打电话时忘了号码的最后四位数字，只记得最后四位数字两两不同，且都大于5，于是他随机拨最后四位数字(两两不同)，设他拨到正确号码时已拨的次数为ξ，则随机变量ξ的所有可能取值的种数为(　　) A．24 B．20 C．18 D．4 答案　A 解析　由于后四位数字两两不同，且都大于5，因此只能是6,7,8,9四位数字的不同排列，故有A＝24种． 3．设随机变量ξ的概率分布列如下表： ξ 1 2 3 4 P a 则P(|ξ－2|＝1)＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　根据随机变量ξ的概率分布列知，＋＋a＋＝1，解得a＝.又|ξ－2|＝1，∴ξ＝1或ξ＝3，则P(|ξ－2|＝1)＝P(ξ＝1)＋P(ξ＝3)＝＋＝.故选C． 4．(2023·陕西铜川模拟)从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设随机变量X表示取出次品的个数，则X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，X的可能取值为0,1,2，则取得次品数为1的概率为P(X＝1)＝＝. 5．随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，则a的值为(　　) A． B． C．110 D．55 答案　B 解析　∵随机变量ξ的所有可能的取值为1,2,3，…，10，且P(ξ＝k)＝ak(k＝1,2，…，10)，∴a＋2a＋3a＋…＋10a＝1，∴55a＝1，∴a＝. 6．(2023·青海西宁模拟)已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P(ξ＝2)＝________. 答案　 解析　ξ的可能取值为0,1,2,3，所以P(ξ＝2)＝＝＝. 考向一　离散型随机变量分布列的性质 例1　(1)随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a为常数，则P的值为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　∵P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，∴＋＋＋＝1，∴a＝.∴P＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝×＋×＝. (2)(2023·陕西汉中模拟)随机变量X的分布列如下： X －1 0 1 P a b c 其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝________，公差d的取值范围是________. 答案　　 解析　因为a，b，c成等差数列，所以2b＝a＋c.又a＋b＋c＝1，所以b＝，因此P(|X|＝1)＝a＋c＝.又a＝－