第二章 第3讲 函数的奇偶性与周期性-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习·理科数学［全国统考版］ 第3讲　函数的奇偶性与周期性 1．函数的奇偶性 奇函数 偶函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内的任意一个x 都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数 都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数 图象特点 关于原点对称 关于y轴对称 2．函数的周期性 (1)周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的六个常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在x＝0处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)． (3)既是奇函数又是偶函数的函数只有一种，即f(x)＝0，x∈D，其中定义域D是关于原点对称的非空数集． (4)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性． (5)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数． (6)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．周期性的三个常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a≠0)． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a≠0)． (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a≠0)． 3．对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称． 1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) A．－ B． C． D．－ 答案　B 解析　显然b＝0，a－1＋2a＝0，∴a＝，即a＋b＝. 2．下列函数中，与函数y＝－3|x|的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是(　　) A．y＝－ B．y＝log2|x| C．y＝1－x2 D．y＝x3－1 答案　C 解析　函数y＝－3|x|为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，A，D中的函数不是偶函数，B中的函数是偶函数，但在(－∞，0)上为减函数，只有C符合要求． 3．(2022·广东茂名模拟)已知f(x)＝x－sinx，则不等式f(2m＋1)＋f(1－m)＞0的解集为(　　) A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞) C．(0，＋∞) D．(－∞，0) 答案　B 解析　由题意知f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－x＋sinx＝－f(x)，得f(x)为奇函数，且f′(x)＝1－cosx≥0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．由f(2m＋1)＋f(1－m)＞0得f(2m＋1)＞f(m－1)，即2m＋1＞m－1.解得m＞－2.故选B. 4．函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，且函数f(x＋2)是偶函数，则下列结论成立的是(　　) A．f(1)＜f＜f B．f＜f(1)＜f C．f＜f＜f(1) D．f＜f(1)＜f 答案　B 解析　∵函数f(x＋2)是偶函数，∴函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，又函数y＝f(x)在[0，2]上单调递增，∴函数y＝f(x)在[2，4]上单调递减，且在[0，4]上函数y＝f(x)满足f(2－x)＝f(2＋x)，∴f(1)＝f(3)，f＜f(3)＜f，即f＜f(1)＜f. 5．(2023·成都石室中学二诊模拟)函数f(x)是定义在R上的奇函数，当－1＜x＜0时，f(x)＝3x，则f(log32)＝________． 答案　－ 解析　因为log32∈(0，1)，所以－log32∈(－1，0)，由f(x)为奇函数得f(log32)＝－f(－log32)＝－f＝－3log3＝－. 6．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f(x)＝则f＋f＝________． 答案　 解析　由于函数f(x)是周期为4的奇函数，所以f＋f＝f＋f＝－f－f＝－＋sin＝. 考向一　函数奇偶性的判断 例1　判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝xlg (x＋)； (2)f(x)