第二章 第1讲 函数及其表示-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习·理科数学［全国统考版］ 第二章　函数与基本初等函数 第1讲　函数及其表示 1．函数与映射的概念 函数 映射 两集合 A，B 设A，B是两个非空数集 设A，B是两个非空集合 对应关系 f：A→B 按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与之对应 按某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应 名称 称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射 记法 y＝f(x)，x∈A f：A→B 2.函数的定义域、值域 在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域． 3．函数的三要素：定义域、对应关系和值域． 4．相等函数：如果两个函数的定义域相同，且对应关系完全一致，则这两个函数相等．这是判断两函数相等的依据． 5．函数的表示法 表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法． 6．分段函数 若函数在定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 1．函数允许多对一，但不允许一对多．与x轴垂直的直线和一个函数的图象至多有1个交点． 2．若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有nm个． 3．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 1．集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是(　　) A．f：x→y＝x B．f：x→y＝x C．f：x→y＝x D．f：x→y＝ 答案　C 解析　依据函数的概念，集合A中任一元素在集合B中都有唯一确定的元素与之对应，故C不符合． 2．函数f(x)＝的定义域为(　　) A．(－1，0)∪(0，1] B．(－1，1] C．(－4，－1) D．(－4，0)∪(0，1] 答案　A 解析　要使函数f(x)有意义，应有解得－1<x<0或0<x≤1.故选A. 3．(2023·陕西咸阳模拟)已知函数f(x)＝则f(f(4))＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　∵f(4)＝f(4－3)＝f(1)＝log2(12＋1)＝1，∴f(f(4))＝f(1)＝log2(12＋1)＝1.故选A. 4．下列四组函数中，表示相等函数的一组是(　　) A．y＝x－1与y＝ B．y＝与y＝ C．y＝4lg x与y＝2lg x2 D．y＝()3与y＝x 答案　D 解析　对于A，y＝x－1与y＝＝|x－1|的对应关系不同，两函数不相等；对于B，y＝的定义域为[1，＋∞)，y＝的定义域为(1，＋∞)，定义域不同，两函数不相等；对于C，y＝4lg x的定义域为(0，＋∞)，y＝2lg x2的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，定义域不同，两函数不相等；对于D，y＝()3＝x的定义域为R，y＝x的定义域为R，定义域和对应关系都相同，两函数相等．故选D. 5．(2023·内蒙古巴彦淖尔模拟)函数f ＝，则函数f(x)的解析式是(　　) A．f(x)＝(x≠0，－1) B．f(x)＝1＋x(x≠0) C．f(x)＝(x≠0，－1) D．f(x)＝x(x≠0) 答案　A 解析　令t＝，t≠0，－1，则有x＝，所以f(t)＝＝，t≠0，－1，所以f(x)＝，x≠0，－1.故选A. 6．已知函数f(x)的定义域是[－1，1]，则函数g(x)＝的定义域是(　　) A．[0，1] B．(0，1) C．[0，1) D．(0，1] 答案　B 解析　由函数f(x)的定义域为[－1，1]，得－1≤x≤1，令－1≤2x－1≤1，解得0≤x≤1，又由1－x>0且1－x≠1，解得x<1且x≠0，所以函数g(x)的定义域为(0，1)．故选B. 考向一　函数的概念 例1　(1)下列对应是否是从集合A到集合B的函数？ ①A＝N，B＝N，f：x→y＝(x－1)2； ②A＝N，B＝R，f：x→y＝±. 解　①是集合A到集合B的函数． ②不是集合A到集合B的函数，因为从A到B的对应为“一对多”． (2)以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？为什么？ ①f1：y＝，f2：y＝1，f3：y＝x0； ②f1：y＝，f2：y＝()2， f3：y＝ 解　①不是．f1(x)与f3(x)的定义域为{x∈R| x≠0}，f2(x)的定义域为R. ②不是．f1(x)的定义域为R，f2(x)的定义域为{x∈R|x≥0}，f3(x)的定义域为{x∈R|x≠0}． 函数的含义及判