第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第1讲　任意角和弧度制及任意角的三角函数 1．角的概念 (2)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}． 2．弧度的定义和公式 (1)定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：①弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度；②弧长公式：l＝|α|r；③扇形面积公式：S扇形＝lr＝|α|r2. 说明：②③公式中的α必须为弧度制． 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则sinα＝y，cosα＝x，tanα＝(x≠0). (2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线. (3)三角函数值在各象限内的符号 三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 1．任意角的三角函数的定义(推广) 设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sinα＝，cosα＝，tanα＝(x≠0)． 2．象限角 3．轴线角 4．重要结论 若α∈，则tanα>α>sinα. 1．给出下列四个命题： ①－是第二象限角；②是第三象限角； ③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　－是第三象限角，故①错误；＝π＋，从而是第三象限角，故②正确；－400°＝－360°－40°，故③正确；－315°＝－360°＋45°，故④正确．故选C. 2．若tanα＞0，则(　　) A．sinα＞0 B．cosα＞0 C．sin2α＞0 D．cos2α＞0 答案　C 解析　由tanα＞0知角α是第一或第三象限角，当α是第一象限角时，sinα>0，cosα>0，sin2α＝2sinαcosα＞0；当α是第三象限角时，sinα＜0，cosα＜0，仍有sin2α＝2sinαcosα＞0.故选C. 3．设角α的终边与单位圆相交于点P，则sinα－cosα的值是(　　) A．－ B．－ C. D． 答案　A 解析　由题意知sinα＝－，cosα＝，所以sinα－cosα＝－－＝－.故选A. 4．下列与的终边相同的角的表达式中正确的是(　　) A．2kπ＋45°(k∈Z) B．k·360°＋(k∈Z) C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 答案　C 解析　与的终边相同的角可以写成2kπ＋(k∈Z)，但是角度制与弧度制不能混用，所以只有C正确．故选C. 5．单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为(　　) A．10π B．9π C. D． 答案　D 解析　单位圆的半径r＝1，圆心角α＝200×＝，由弧长公式得l＝|α|r＝.故选D. 6．(2022·江西九江质检)若2弧度的圆心角所对的弧长是4 cm，则这个圆心角所在扇形的面积是________. 答案　4 cm2 解析　设这个圆心角所在扇形的半径为r，弧长为l，圆心角为α，则r＝＝＝2.所以这个圆心角所在扇形的面积S＝lr＝×4×2＝4(cm2)． 考向一　角的概念及表示 例1　(1)设集合M＝，N＝，则两集合的关系为(　　) A．M＝N B．MN C．NM D．M∩N＝∅ 答案　B 解析　解法一：由于M＝＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N＝＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有MN.故选B. 解法二：在集合M中，x＝·180°＋45°＝k·90°＋45°＝45°·(2k＋1)，2k＋1是奇数；在集合N中，x＝·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有MN.故选B. (2)(2023·合肥模拟)若角α与β的终边关于x轴对称，则有(　　) A．α＋β＝90° B．α＋β＝90°＋k·360°，k∈Z C．α＋β＝2k·180°，k∈Z D．α＋β＝180°＋k·360°，k∈Z 答案　C 解析　因为角α与β的终边关于x轴对称，所以β＝2k·180°－α，k∈Z.所以α＋β＝2k·180°，k∈Z. (3)若角α是第一象限角，则是(　　) A．第一或第二或第三象限角 B．第一或第三或第四象限角 C．第二或第三或第四象限角 D．第一或第二或第四象限角 答案　A 解析　∵α是第一象限角，∴2kπ＜α＜＋2kπ，k∈Z.∴＜＜＋，k∈Z.当k＝3n(n∈Z)时，是第一象限角；当k＝3n＋1(n∈Z)时，是第二象限角；当k＝3n＋2(n