第三章 高考大题专题研究1 专题研究2 利用导数解决不等式恒(能)成立问题-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 专题研究(二)　利用导数解决不等式恒(能)成立问题 题型一　恒成立问题 例1　已知函数f(x)＝aex－1－ln x＋ln a．若f(x)≥1，求a的取值范围． 解　解法一：∵f(x)＝aex－1－ln x＋ln a， ∴f′(x)＝aex－1－，且a>0. 设g(x)＝f′(x)，则g′(x)＝aex－1＋>0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增，即f′(x)在(0，＋∞)上单调递增， 当a＝1时，f′(1)＝0，则f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴f(x)min＝f(1)＝1， ∴f(x)≥1成立； 当a>1时，<1，∴ <1， ∴f′f′(1)＝a(－1)(a－1)<0， ∴存在唯一x0∈，使得f′(x0)＝aex0－1－＝0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)<0，当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0， 因此f(x)min＝f(x0)＝aex0－1－ln x0＋ln a＝＋ln a＋x0－1＋ln a>2ln a－1＋2＝2ln a＋1>1， ∴f(x)>1，∴f(x)≥1恒成立； 当0<a<1时，f(1)＝a＋ln a<a<1， ∴f(1)<1，f(x)≥1不恒成立． 综上所述，a的取值范围是[1，＋∞)． 解法二：f(x)＝aex－1－ln x＋ln a＝eln a＋x－1－ln x＋ln a≥1等价于eln a＋x－1＋ln a＋x－1≥ln x＋x＝eln x＋ln x， 令g(x)＝ex＋x，上述不等式等价于g(ln a＋x－1)≥g(ln x)，显然g(x)为增函数， ∴又等价于ln a＋x－1≥ln x，即ln a≥ln x－x＋1， 令h(x)＝ln x－x＋1， 则h′(x)＝－1＝， 当x∈(0,1)时，h′(x)>0，h(x)单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，h′(x)<0，h(x)单调递减， ∴h(x)max＝h(1)＝0，∴ln a≥0，即a≥1， ∴a的取值范围是[1，＋∞)． [解题策略]　解不等式恒成立问题的方法 (1)构造函数分类讨论法：遇到f(x)≥g(x)型的不等式恒成立问题时，一般构造函数h(x)＝f(x)－g(x)或函数u(x)＝g(x)－f(x)，进而只需满足h(x)min≥0或u(x)max≤0，转化为求解函数最值的问题，但是往往需要对参数进行分类讨论． (2)分离参数法：分离参数法的主要思想是将不等式变形成一个一端是参数a，另一端是变量表达式v(x)的不等式后，若a≥v(x)在x∈D上恒成立，则a≥v(x)max；若a≤v(x)在x∈D上恒成立，则a≤v(x)min. (3)同构法：在不等式恒成立求参数的取值范围问题中，如果不等式中同时含有ex和ln x两种形式的函数，可以考虑将不等式进行合理转化、变形、拼凑，将不等式两边转化为同一个函数的两个函数值的形式，然后借助该函数的单调性转化为一个更为简单的不等式恒成立问题，从而解决问题，这种解题方法通常称为“同构”，同构的三种基本模式如下： ②商型：< ③和差型：ea±a>b±ln b 变式训练1　(1)(2023·白银模拟)已知函数f(x)＝x2＋cosx，g(x)＝，若当x∈时，不等式f(x)－g(x)≤0恒成立，求实数a的取值范围． 解　因为当x∈时，不等式f(x)－g(x)≤0恒成立， 所以当x∈时，不等式a≥sinx·f(x)恒成立， 令k(x)＝sinx·f(x)， 所以k′(x)＝cosx·f(x)＋sinx·f′(x)， 因为当x∈时，cosx≥0，f(x)＞0，sinx＞0，f′(x)＝2x－sinx＞0， 所以k′(x)＞0，所以k(x)单调递增， 所以k(x)max＝k＝，所以a≥. 即实数a的取值范围是. (2)(2022·湖南永州模拟)已知函数f(x)＝aex＋ln a，g(x)＝ln (x＋1)＋1(其中a为常数，e是自然对数的底数)，若f(x)>g(x)恒成立，求实数a的取值范围． 解　因为f(x)＝aex＋ln a，g(x)＝ln (x＋1)＋1， 所以f(x)>g(x)恒成立，即aex＋ln a>ln (x＋1)＋1在(－1，＋∞)上恒成立，等价于aex＋ln (aex)>ln (x＋1)＋(x＋1)在(－1，＋∞)上恒成立． 设h(t)＝t＋ln t，则h′(t)＝1＋>0，h(t)单调递增， 因而aex>x＋1恒成立，即a>恒成立． 令s(x)＝(x>－1)，则s′(x)＝－. 当x∈(－1,0)时，s′(x)>0，s(x)单调递增；当x∈(0，＋∞)时，s′(x)<0，s(x)单调递减， 所以s(x)≤s(0)＝1， 从而实数a的取值范围是(1，＋∞)． 题型二　能成立问题 例2　已知函数f(x)＝ax－(2a＋1)