第三章 第3讲 导数与函数的极值、最值-【金版教程】2024高考理科数学一轮复习创新方案word（全国统考版）

高考总复习•理科数学［全国统考版］ 第3讲　导数与函数的极值、最值 1．导数与函数的极值 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，且f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，且f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值． (3)求可导函数f(x)极值的步骤 ①求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得极小值. 2．导数与函数的最值 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 1．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件．例如：f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． 2．若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． 3．极值有可能是最值，但最值只要不在区间端点处取得，其必定是极值． 1．函数f(x)＝x3－6x2＋8x的极值点是(　　) A．x＝1 B．x＝－2 C．x＝－2和x＝1 D．x＝1和x＝2 答案　D 解析　f′(x)＝4x2－12x＋8＝4(x－2)(x－1)，则结合列表可得函数f(x)的极值点为x＝1和x＝2.故选D. 2.函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案　A 解析　导函数f′(x)的图象与x轴的交点中，左侧图象在x轴下方，右侧图象在x轴上方的只有一个，所以f(x)在区间(a，b)内有一个极小值点． 3．(2023·四川广元模拟)已知函数f(x)＝x·2x，则下列结论正确的是(　　) A．当x＝时，f(x)取最大值 B．当x＝时，f(x)取最小值 C．当x＝－时，f(x)取最大值 D．当x＝－时，f(x)取最小值 答案　D 解析　由题意知，f′(x)＝2x＋x·2xln 2，令f′(x)＝0，得x＝－，又当x<－时，f′(x)<0；当x>－时，f′(x)>0.∴当x＝－时，f(x)取最小值． 4．函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，则a的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．e 答案　C 解析　f′(x)＝aex－cosx，∵函数f(x)＝aex－sinx在x＝0处有极值，∴f′(0)＝a－1＝0，解得a＝1，经检验，a＝1符合题意．故选C. 5．若f(x)＝x(x－c)2在x＝2处有极大值，则常数c的值为________. 答案　6 解析　f′(x)＝3x2－4cx＋c2，∵f(x)在x＝2处有极大值，∴f′(2)＝c2－8c＋12＝0，解得c＝2或c＝6.经检验，当c＝2时，函数f(x)在x＝2处取得极小值，不符合题意，应舍去．当c＝6时，符合题意，故c＝6. 6．函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的最小值为________. 答案　1 解析　函数f(x)＝|2x－1|－2ln x的定义域为(0，＋∞)． ①当x>时，f(x)＝2x－1－2ln x，f′(x)＝2－＝，当x>1时，f′(x)>0；当<x<1时，f′(x)<0，故f(x)min＝f(1)＝1； ②当0<x≤时，f(x)＝1－2x－2ln x，f′(x)＝－2－＝－＜0，此时函数f(x)＝1－2x－2ln x为上的减函数．故f(x)min＝f＝2ln 2＞1. 综上，f(x)min＝f(1)＝1. 精准设计考向，多角度探究突破 考向一　导数与函数的极值 角度　知图判断函数极值情况 例1　(2023·陕西西安八校联考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(