大题训练（9）-2023届高三高考数学考前冲刺

2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（9） 1．已知是各项均为正数的等比数列，其前项和为，，．数列满足，，且为等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）求数列的前项和． 2．如图，在平面四边形中，，，． （1）当，时，求的面积； （2）当，时，求． 3．在四棱锥中，底面是矩形，平面，．以的中点为球心，为直径的球面交于点． （1）证明：为的中点， （2）若二面角的余弦值为，求． 4．某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测方案：方案一：4人一组，采样混合后进行检测；方案二：2人一组，采样混合后进行检测．若混合样本检测结果呈阳性，则对该组所有样本全部进行单个检测；若混合样本检测结果呈阴性，则不再检测． （1）某家庭有6人，在采取方案一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率； （2）假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01，每个人核酸检测结果相互独立，分别求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望．以较少检测次数为依据，你建议选择哪种方案？ （附， 5．已知点在抛物线的准线上，过点作直线与抛物线交于，两点，斜率为2的直线与抛物线交于，两点． （1）求抛物线的标准方程； （2）（ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）记（ⅰ）中的定点为，设的面积为，且满足，求直线的斜率的取值范围． 6．已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）当，时，不等式恒成立，求实数的取值范围． （3）求证：． （其中，是自然对数的底数） 2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（9） 参 考 答 案 1．解：（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，由题设知． 由，解得：，． ，，， ，， 所以； （2）由（1）知， ． 2．解：过作于点，再过作于点， 结合，可知，故， （1）在中， ，故， 故，即， 所以，所以． （2）如图，在中，， 在中，，故， 所以，即，所以． 3．（1）证明：是所作球面的直径，， 又平面，平面，则， 在矩形中，， 又，平面，平面， 平面，又平面，则， ，，平面，平面， 平面，平面，， 又，为的中点； （2）解：由题意建立以为原点的空间直角坐标系，如图所示： 设，则，0，，，0，，，8，，，4，， 设平面的一个法向量为，，， 又，4，，，8，， 则，取，则，， 平面的一个法向量为，，， 设平面的一个法向量为，，，，0，， 则，取，则，， 平面的一个法向量为，1，， 设二面角的平面角为，二面角的余弦值为， ，， 解得，（不合题意，舍去），故． 4．解：（1）记该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组为事件， 则； （2）每个人核酸检测阳性概率为0.01，每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99， 若选择方案一进行核酸检测，记小组4人的检测次数为， 则可能取值为1，5，其分布列为： 1 5 则选择方案一，小组4人的检测次数期望为 ， 该社区对8000人核酸检测总次数的期望为， 若选择方案二，记小组2人的检测次数为， 则可能取值为1，3，其分布列为： 1 3 则选择方案二，小组4人的检测次数期望为 ， 该社区8000人进行核酸检测总次数的期望， 显然，建议选择方案一． 5．解：（1）由题意可知的准线方程为：，即，所以． 抛物线的标准方程为； （2）设，，，，，， （ⅰ）由题意知直线不与轴垂直，故直线方程可设为：， 联立，化简得：， 根据韦达定理可得：，即， ， 直线方程为，整理得：． 又因为，即． 将代入化简可得：， 故直线过定点，． （ⅱ）由（ⅰ）知与轴平行，直线的斜率一定存在， 又，，由（ⅰ）知， 所以， 又因为，即，化简得或 又由△得：且， 即或， 综上所述，直线的斜率的取值范围为，，． 6．解：（1）当时，，， ， 当时，；当时，． 的单调增区间为，单调减区间为． （2），即， 对，成立，令， 则， 当时，，得， 若时，， 则在为减函数，在为增函数，（a），舍． 若时，在，为增函数，舍． 综上所述，． （3）由（2）得时，，， 令， 则， 当时， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $