大题训练（7）-2023届高三高考数学考前冲刺

2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（7） 1．已知数列的首项，且满足． （1）证明：为等比数列； （2）已知为的前项和，求． 2．如图，在中，，在上，，，． （1）求的值； （2）求面积的取值范围． 3．冠状病毒是目前已知病毒中基因组最大的一个病毒家族，可引起人和动物的呼吸系统、消化系统、神经系统等方面的严重疾病．自2019年底开始，一种新型冠状病毒开始肆虐全球．人感染了新型冠状病毒后初期常见发热乏力、咽痛干咳、鼻塞流涕、腹痛腹泻等症状，严重者可致呼吸困难、脏器衰竭甚至死亡．筛查时可先通过血常规和肺部进行初步判断，若血液中白细胞、淋巴细胞有明显减少或肺部有可见明显磨玻璃影等病毒性肺炎感染症状则为疑似病例，可再通过核酸检测做最终判断． 现、、、、五人均出现了发热咳嗽等症状，且五人发病前14天因求学、出差、旅行、探亲等原因均有疫区旅居史．经过初次血液化验已确定其中有且仅有一人罹患新冠肺炎，其余四人只是普通流感，但因化验报告不慎遗失，现需要再次化验以确定五人中唯一患者的姓名，下面是两种化验方案： 方案甲：逐个化验，直到能确定患者为止； 方案乙：混合检验，先任取三人血样混合在一起化验，若混合血液化验结果呈阳性则表明患者在这3人中，然后再逐个化验，直到能确定患者为止；若混合血液化验结果呈阴性，则在另外2人中任选一人进行化验．假设在接受检验的血液样本中每份样本是阳性结果是等可能的，且每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的． （1）求依方案甲所需化验次数恰好为4次的概率； （2）求依方案乙所需化验次数的分布列和数学期望． 4．已知双曲线的右焦点为，一条渐近线方程为． （1）求的方程； （2）在轴上是否存在与不重合的点，使得当过点的直线与的右支交于，两点时，总成立？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在中，，，点，分别在线段与上． （1）当点，分别为线段与的中点时，沿着翻折，使点在面上的射影点刚好落在线段上，求二面角的正切值； （2）当时，沿着翻折，使点在面上的射影点刚好落在线段上，求的最小值． 6．已知函数． （1）当时，求证：； （2）当时，函数的零点从小到大依次排列，记为． 证明：①； ②． 2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（7） 参 考 答 案 1．解：（1）证明：，变形为，， 为等比数列，首项为1，公比为． （2）由（1）可得：，， 为奇数时，； 为偶数时，． ． 2．解：（1）因为，，， 所以， ， 故，即， 则在中，根据正弦定理可得，； （2）设，则，由解得， 在中，， 则， ， 由，得， 则，故面积的取值范围为． 3．解：（1）． （2）的取值为：2，3，，， 所以的分布列为： 2 3 ． 4．解：（1）由题意可得，解得，，所以双曲线的方程为：； （2）因为总成立，可知为的角平分线，即， 当直线的斜率不存在时，在轴上任意非点都成立， 当直线的斜率存在时，且斜率不为0，设直线的方程为，， 设，，，，假设存在， 联立，整理可得：， ，，， 因为，即， 整理可得， 即， 即，因为， 整理可得：，即，， 综上所述，存在满足条件的点，． 5．（1）首先证明：在二面角中，，垂足为，，垂足为，连接， 由，，可得，又，，平面， 所以平面，又平面，则， 则为二面角的平面角， 所以，其中是点到平面的距离，是点到棱的距离， 其次，设，，， 在中作于点，交于点， 由题意可知，平面平面， 则折叠后平面即为题中的点， ，，的长是的边上的高，且， 则，又，， 折叠后， 因为，所以， 则，所以， 设点到平面的距离为，由等体积法，，即， 解得，所以点到的距离为， 因为二面角的平面角为钝角，则， 所以，故， 所以二面角的正切值为； （2）要使得点在平面上的射影点恰好落在线段上， 则在中，点关于直线的对称点在上或与点在的两侧 （即，不能在的同一侧）， 当点在上，如图，设，，， 在中，由正弦定理可得，， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 6．（1）证明：，则， 令，则， 当时，， 故在，上单调递增，又， 故在，上单调递减，在，上单调递增， 又，所以； 当时，，，故， 又，所以在时恒成立； 综上，当时，； （2）（ⅰ）由（1）知在，内无零点，则，， 由知，，， 令，，，所以在，上单调递减， 又，所以，即； （ⅱ）当时，，在，上单调递减， ，， 所以，，使得，当时，单调递增； 当时，单调递减； 记，则， 令，得，故函数在上单调递增， 令，得，故函数在上单调递减， 所以，故，又， 所以在，有且只有一个零点，记为， 当，时，，， 故，在，，无零点； 当，时，， 故在，，上单调递增； 当，时，， 故在上单调递减； 又，， ，； 所以，，使得，； 故当时，，，单调递增； 当，时，，单调递减；