大题训练（6）-2023届高三高考数学考前冲刺

2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（6） 1．已知函数． （1）若的周期为，且的三个内角，，所对的边分别是，，，满足，，，求； （2）若在上恰有两个零点，求的取值范围． 2．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时饮用，可以产生最佳口感．某研究人员每隔1分钟测量一次茶水温度，得到下表的一组数据． 时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 75 71 68 （1）从表中所给的5个水温数据中任选两个，求恰有一个水温数据低于的概率； （2）在室温下，设茶水温度从开始，经过后的温度为，根据这些数据的散点图，可用回归方程近似地刻画水温度随时间变化的规律， 其中为温度的衰减比例，且的估计值，为第分钟对 应的水温，根据表中数据求： ①温度关于时间的回归方程；（结果精确到 ②刚泡过的茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感．（结果保留整数） 参考数据：，． 3．已知如图甲所示，直角三角形中，，，，分别为，的中点，现在将沿着进行翻折，使得翻折后点在底面的投影在线段上，且与平面所成角为，为折叠后的中点，如图乙所示． （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 4．数列的前项和为，若，，，依次成等比数列（公比不等于． （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足，的前项和为，求． 5．已知椭圆，椭圆，动点，在上运动，过，作的两条切线，切点分别为，． （1）求直线的方程（用，表示）； （2）为坐标原点，求四边形的面积． （提示：过椭圆上一点与相切的直线方程为 6．函数． （1）求曲线在点，处的切线方程； （2）当时，求函数在，上的最小值； （3）直接写出的一个值，使恒成立，并证明． 2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（6） 参 考 答 案 1．解：（1）因为的周期，故，又，故， 则， 又，则，解得或（舍， 因为，则， 又，由正弦定理得：， 故，故． （2）因为，又因为在上恰有两个零点， 当，所以，故， 解得：，故的取值范围是，． 2．解：（1）由题意可知，低于的数据有2个， 恰有一个水温数据低于的概率； （2）①计算每分钟的值与上一分钟值的比值，可知： 0 1 2 3 4 60 54 50 46 43 0.90 0.93 0.92 0.93 所以，故回归方程为：． ②将代入，得，所以， 两边取对数得：， 由参考数据知：，．所以， 所以，泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约． 3．解：（1）证明：取的中点为，连接，， 因为，分别为，上的中点，所以，， 又因为，分别为，的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面． （2）因为，所以，又因为，， 所以平面，因为面，所以平面平面， 因为点在底面的投影在线段上，所以平面，所以． 与平面所成角的平面角为，， 过作，则，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， 根据题意可得为平面的一个法向量， 设为平面的一个法向量，则有， 可取， 设平面与平面所成锐二面角的大小为， 则，， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 4．解：（1）由题意，当时，，解得， 当时，， 化简整理，得，① 则，② ②①，可得， 整理，得，即， 数列为等差数列， 设等差数列的公差为，则，， ，，依次成等比数列， ，即， 整理，得，解得，或， ，． （2）由（1）可得 ， 故 ． 5．解：（1）不妨设，，，， 由椭圆，椭圆， ，处的切线方程分别为，， 因为切线经过点，， ，， 直线的方程为． （2）当时，联立， ，代入上式，化简得， ，， 则，到直线的距离， 到直线的距离， ， 当时，经验证面积也为， 所以综上：四边形的面积为定值． 6．解：（1）因为，所以且， 所以， 所以曲线在点，处的切线方程， 即． （2）当，，时， 因为， 所以在，上单调递增， 所以在，上的最小值为． （3）取，以下证明恒成立， 令，即证恒成立， （ⅰ）当，时，有，，， 所以， 所以在，上单调递减， 所以在，上恒成立； （ⅱ）当时，令， 因为，，，所以， 所以在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以在上恒成立． 综上，恒成立，所以恒成立． 学科网（北京）股份有限公司 $