大题训练（4）-2023届高三高考数学考前冲刺

2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（4） 1．在锐角中，，_____， （1）求角； （2）求的周长的取值范围． 在①，且； ②； ③，（B）． 在这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中并对其进行求解． 2．已知数列的首项，其前项和为，对于任意正整数，，都有． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，且． ①求证数列为常数列． ②求数列的前项和． 3．如图所示，在四棱锥中，底面为正方形，侧面为正三角形，为的中点，为的中点． （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 4．中国男篮历史上曾12次参加亚运会，其中8次夺得金牌，是亚运会夺冠次数最多的球队．第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日在杭州举办． （1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，某学校随机抽取了男生和女生各100名进行调查，得到列联表如下： 喜爱篮球 不喜爱篮球合计 男生 65 35 100 女生 25 75 100 合计 90 110 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱篮球运动与性别有关？ （2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即． （ⅰ）求，，并证明：为等比数列； （ⅱ）比较第15次触球者是甲与第15次触球者是乙的概率的大小． 参考公式：，其中为样本容量． 参考数据： 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 5．已知双曲线的离心率为，并且经过点，． （1）求双曲线的方程． （2）若直线经过点，与双曲线右支交于、两点（其中点在第一象限），点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，且直线与交于点，直线与交于点，证明：双曲线在点处的切线平分线段． 6．已知函数，为自然对数的底数）． （1）当时，判断函数的单调性和零点个数，并证明你的结论； （2）当，时，关于不等式恒成立，求实数的取值范围． 2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（4） 参 考 答 案 1．（1）解：选①，，且， ，即，，． 选②，， 由正弦定理可得，， ， ，，即，，． 选③， ， （B），，，． （2）由正弦定理可得，， 则的周长 ， ，解得，， ，， 故的周长的取值范围为，． 2．（1）解：依题意，令，，则由，可得， ，． 当时，， 当时也满足上式． 数列的通项公式为，． （2）证明：①由（1）可知，． 将代入，可得，． 再将代入，可得，． 当时，． 将式整理，可得，两边各加上，得 ， 即． 恒成立，数列为常数列． ②由①可知，，．则是以3为首项，为公差的等差数列． 设数列的前项和为，则． 当时，；当时，． 当时，． 当时， ． ，且． 3．（1）证明：取中点为，连接， 在中，为的中点，为中点， ， 在正方形中，为的中点， ，，， 四边形为平行四边形， ，平面，平面，平面； （2）解：在正三角形中，为的中点，， 又，，平面，平面， 平面，平面，， 在正方形中，，又， 平面，平面，平面平面， 取的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设， 则，1，，，0，，，1，，，， ，，，， 设平面的法向量为， ，令，则， 设平面的法向量为， ，令，则， ， 平面与平面夹角的余弦值为． 4．解：（1）假设：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关， 计算， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001． （2）（ⅰ）由题意知，，，，； 证明：第次触球者是甲的概率记为， 则当时，第次触球者是甲的概率为， 第次触球者不是甲的概率为， 则， 从而，又， 所以是以为首项，公比为的等比数列， （ⅱ）第次触球者是甲的概率为， 所以， 第15次触球者是乙的概率为 ， 所以第15次触球者是甲的概率比第15次触球者是乙的概率大． 5．解：（1）依题意，离心率，，解得，， 双曲线的方程为． （2）证明：设，，，， 直线为，代入双曲线方程得． 则且△，， ，， ， 直线的方程为，令，得， ，， 直线为，令，得：， 即，， 设线段的中点坐标为，， 则，， 过点的切线方程为：， 要证双曲线在点处的切线平分线段， 即证点处的切线经过线段的中点， ， 点处的切线过线段的中点，即点处的切线平分线段． 6．解：（1）当时，，则， 因为且，所以，所以， 所以在上单调递减， 当且时，，，， 所以当且时，， 当时，，，， 所以在上有一个零点． （2）由题意，，，不等式恒成