大题训练（3）-2023届高三高考数学考前冲刺

2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（3） 1．已知锐角中， ． （1）求； （2）若，求锐角的周长的取值范围． 2．如图，在四棱锥中，底面为边长为2的菱形，，为正三角形，且平面平面，为线段中点，在线段上． （1）当是线段中点时，求证：平面； （2）当时，求二面角的正弦值． 3．已知数列中，，，数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）证明：； （3）证明：． 4．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． （1）求首次试验结束的概率； （2）在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率； ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 5．已知离心率为的双曲线与直线仅有一个公共点． （1）求双曲线的方程； （2）设双曲线的左顶点为，直线平行于，且交双曲线于，两点． 求证：的垂心在双曲线上． 6．已知函数，． （1）当时，解方程； （2）若对任意的，，，都有恒成立，试求的取值范围； （3）用，表示，中的最小者，设函数，讨论关于的方程的实数解的个数． 2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（3） 参 考 答 案 1．解：（1）由可得： ，所以， （2）因为，利用正弦定理得：， 所以， 所以， 所以， 因为是锐角三角形， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以三角形周长的范围为． 2．（1）证明：连接交于点，连接， 因为四边形是菱形，所以点为的中点． 又因为为的中点，所以． 又因为平面，平面． 所以平面． （2）解：由（1）可得：以为原点，分别以，，为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，0，，，0，，，0，，，，，，，． 设点坐标为，，， 由，得，，，，，，，， ，，，，，， 设平面的法向量为，，， 则，取，解得，0，． 平面，平面的法向量，0，， ，，二面角的大小为． 故二面角的正弦值为． 3．（1）解：，，当时，有； ，① 当时，有，② 由①②得：，即， ，又也适合， 是每项均为1的常数列； ，故； （2）证明：数列满足，， 数列是正项单调递增数列． 当时，， ， ； （3）证明：①当时，显然成立； ②当时， ， 即． 由①②知：， ． 4．解：设试验一次，“取到甲袋”为事件， “取到乙袋”为事件， “试验结果为红球”为事件， “试验结果为白球”为事件， （1）； 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为，是对立事件，， 所以， 所以选到的袋子为甲袋的概率为； ②由①得， 所以方案一中取到红球的概率为： ， 方案二中取到红球的概率为： ， 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 5．（1）解：因为双曲线的离心率为，所以，即， 所以双曲线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，消去得， 即， 因为与双曲线仅有一个公共点，所以△， 解得，故双曲线的方程为． （2）证明：设，，，，， 则、满足 消去得， 所以，， 如图所示，过引的垂线交于另一点， 则的方程为． 代入得，即（舍去）或． 所以点为． 所以 ， 所以，故为的垂心，得证． 6．解：（1）当时，函数，， 当时，，，此时无解， 当时，单调递增，单调递减， 且（1）单调递增，（1），所以此时方程有唯一的解为， 综上，方程的解为． （2）等价于，的对称轴为， 若，即时，在，上单调递增， 从而（1），， 所以，得与矛盾，舍去； 若，即时，在上单调递减，上单调递增， 故，，（1）， 当时，（1），则， 解得，所以， 当时，，则， 解得，则， 若，即时，在，上单调递减， 从而，（1）， 所以，得与矛盾，舍去． 综上，的取值范围为． （3）当时，，则， 故在上没有实数解； 当时，． 若时，则，则不是的实数解， 若时，则，， 则是的实数解， 当时，，故只需讨论在的实数解的个数， 则得， 即问题等价于直线与函数图象的交点个数． 由于，在单调递减，在上单调递增， 结合，在的图象可知， 当时，直线与图象没有交点，即没有实数解； 当或时，在有1个实