大题训练（1）-2023届高三高考数学考前冲刺

2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（1） 1．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，． （1）求； （2）若，，求的面积． 2．设数列是等差数列，数列满足，，2，． （1）证明：数列也是等差数列； （2）设数列、的公差均是，并且存在正整数，，使得是整数， 求的最小值． 3．如图，在三棱锥中，，，平面平面，． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为，求二面角的余弦值． 4．为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分．学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响． （1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率； （2）记甲第次答题所得分数的数学期望为． ①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明） ②若，求的最小值． 5．已知，分别为椭圆的左、右顶点，点在椭圆上． 过点的直线交椭圆于两点，，与顶点，不重合），且直线与，与分别交于点，． （1）求椭圆的方程； （2）设直线的斜率为，直线的斜率为． ①证明：为定值； ②求面积的最小值． 6．已知，函数． （1）若，证明：当时，； （2）若函数存在极小值点，证明：． 2023届 高考数学 考前冲刺 大题训练（1） 参 考 答 案 1．（1），由正弦定理可得，， ，，即，， ，． （2），，， 由余弦定理可得，，即，解得， 故． 2．（1）设等差数列的公差为，则 ， 故数列也是等差数列； （2）由（1）知，且，故， 故， 若正整数，满足是整数， 则， 记，， 则是一个非零的整数，故，故， 经检验，当时，有， 综上所述，的最小值为． 3．（1）证明：因为平面平面，， 平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，所以平面，从而； （2）解：过点在平面内作交于， 因为平面平面，平面平面， ，平面，平面， 因为平面， 因为，，则， 由等面积法可得， ， 因为， 所以，又因为， 以点为坐标原点，的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为 ， 由图可知，二面角为锐角， 故二面角的余弦值为． 4．（1）甲前3次答题得分之和为40分的事件是：甲前3次答题中仅只答对一次的事件， 所以甲前3次答题得分之和为40分的概率． （2）①甲第1次答题得20分、10分的概率分别为，则， 甲第2次答题得40分、20分、10分的概率分别为， 则， 显然，，， 甲第次答题所得分数的数学期望为， 因此第次答对题所得分数为，答错题所得分数为10分， 其概率分别为， 于是甲第次答题所得分数的数学期望为 ， 所以与满足的等量关系式是：； ②由①知，，当，时，， 而，因此数列以为首项，为公比的等比数列， ，于是， 由得：， 显然数列是递增数列，而，则有正整数， 所以的最小值是5． 5．（1）由已知可得，将代入可得， 所以椭圆的标准方程为； （2）①证明：设直线的方程为，，，，， 联立，可得， 则，， 所以 ，即为定值； ②解：设直线与直线的交点，， 因为，，三点共线，所以， 又因为，，三点共线，所以， 两式相除可得， 因为，在椭圆上，所以， 即， 则，解得，同理， 所以直线的方程为：，设直线与轴相交于点， 则， 而，即，同理， 所以 （当仅当时取等号）， 所以面积的最小值为． 6．（1）证明：若，则， 设，， ， 设，，，则在上递增， ，则，所以在上单调递增， 所以，即， 所以当时，． （2）证明：函数，，定义域为，， ， 由（1）知在上单调递增，， 当时，，当时，， 则由，解得或， 其中且，即且， 否则恒有，则在上递增，无极值点，不符合题意， 若，即， 当，，时，，则单调递增， 当，时，，则单调递减，在，上单调递减， 所以是的极小值点，， 若，即，当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当，时，，单调递增， 所以是函数的极小值点，， 又，，所以， 综上所述，函数存在极小值点，． 学科网（北京）股份有限公司 $