湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高三下学期月考（八）数学试卷

长沙市一中2023届高三月考试卷（八） 数学 时量：120分钟 满分：150分 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后；将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1.已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2.在复平面内，复数与对应的点关于虚轴对称，则等于（ ） A. B. C. D. 3.若双曲线的一条渐近线与轴的夹角是，则的虚轴长是（ ） A. B. C.2 D. 4.若.则的值是（ ） A. B. C.2 D.1 5.在中，“”是“”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.长沙烈士公园西南小丘上兴建了烈士纪念塔，纪念为人民解放事业牺牲的湖南革命烈士，它是公园的标志.为了测量纪念塔的实际高度，某同学设计了如下测量方案：在烈士纪念塔底座平面的点位置测得纪念塔顶端仰角的正切值为，然后直线走了20m，抵达纪念塔底座平面点位置测得纪念塔顶端的仰角为.已知该同学沿直线行进的方向与他第一次望向烈士纪念塔底端的方向所成角为，则该烈士纪念塔的高度约为（ ） A.30m B.45m C.60m D.75m 7.已知点，直线与抛物线交于、两点，且直线，的倾斜角互补，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 8.函数在区间上存在极值，则的最大值为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9.已知，，，，则（ ） A. B. C. D. 10.数列首项，对一切正整数，都有，则（ ） A.数列是等差数列 B对一切正整数都有 C存在正整数，使得 D.对任意小的正数，存在，使得 11.已知直线与轴交于点，点在直线上，圆上有且仅有一个点满足，则点的横坐标的取值可以为（ ） A. B. C.3 D.5 12.将个有编号的球随机放入2个不同的盒子中，已知每个球放入这2个盒子的可能性相同，且每个盒子容纳球数不限，记2个盒子中最少的球数为，则下列说法中正确的有（ ） A.当时，方差 B.当时， C.，，使得成立 D.当确定时，期望 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13.函数的图象在区间上连续不断，能说明“若在区间上存在零点，则”为假命题的一个函数的解析式可以为______. 14.若随机变量的数学期望和方差分别为，，则对于任意，不等式成立.在2023年湖南省高三九校联考中，数学科考试满分150分，某校高三共有500名学生参加考试，全体学生的成绩的期望，方差，则根据上述不等式，可估计分数不低于100分的学生不超过______人. 15.如图，在平面斜坐标系中，，平面上任意一点关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若（其中，分别是轴，轴正方向的单位向量），则点的斜坐标为，向量的斜坐标为，，，则的面积为______. 16.正方体的棱长为2，点平面，点是线段的中点，若，则当的面积取得最小值时，三棱锥外接球的体积为______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分） 已知函数，. （1）已知，，求； （2）若不等式恒成立，求整数的最大值. 18.（本小题满分12分） 设数列的前项和为.已知，，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，求数列的前项和. 19.（本小题满分12分） 如图，在长方体中，点是长方形内一点，是二面角的平面角. （1）证明：点在上； （2）若，求直线与平面所成角的正弦的最大值. 20.（本小题满分12分） （1）对于任意两个事件，，若，，证明：； （2）贝叶斯公式是由英国数学家贝叶斯发现的，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设，，…，是一组两两互斥的事件，，且，，2，…，，则对任意的事件，，有，，2，…，. （ⅰ）已知某地区烟民的肺癌发病率为1%，先用低剂量进行肺癌筛查，医学研究表明，化验结果是存在错误的.已知患有肺癌的人其化验结果99%呈阳性（有病），而没有患肺癌的人其化验结果99%呈阴性（无病），现某烟民的检验结果为阳性，请问他真的患肺癌的概率是多少？ （ⅱ）为了确保诊断无误，一般对第一次检查呈阳性的烟民进行复诊.复诊时，此人患肺癌的概