专题二 因数和倍数（培优讲义）-2022-2023学年小升初数学冲刺精讲精练（知识点梳理+重难点解析+同步练习）

第1部分 数与代数 第2部分 第二章 因数和倍数 知识点1 ： 因数与倍数 1.因数与倍数的定义 如果自然数a和自然数b的乘积是c，即a×b＝c，称a和b就是c的因数，c就是a和b的倍数。 2.因数与倍数的关系 （1）一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （2）一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。一个数的因数与倍数相等时，都是这个数本身。 （3）因数和倍数是相互依存的，任何一方都不能单独存在，不能说某一个数是倍数，某一个数是因数。 3.找一个数因数的方法 （1）用乘法找:把一个数写成两个自然数相乘的形式，只要找到所有的乘法算式，就可以找到这个数的全部因数。当两个因数相等时，就作为一个因数来看待。例:12＝1×12＝2×6＝3×4，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。 （2）用除法找:把这个数作为被除数，改变除数（自然数1，2，3，4，…）所得的商是整数且没有余数时，则所有的除数和商都是被除数的因数。当除数和商相等时，就作为一个因数来看待。例:12÷1＝12，12÷2 ＝6，12÷3＝4，所以12的因数有1，2，3，4，6，12。 4.找一个数倍数的方法 一个数和任意非零自然数的乘积都是这个数的倍数。在限定范围内找一个自然数的倍数，可先写出这个自然数本身（也就是乘1），然后用这个自然数分别乘2，3，4，5，…，直到所乘的积接近所规定的限制范围为止。 知识点2： 2，3，5的倍数特征、奇数与偶数 1.2的倍数特征 如果一个数的个位上的数字是0，2，4，6，8，那么这个数就是2的倍数。 2.3的倍数特征 如果一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，那么这个数就是3的倍数。 3.5的倍数特征 如果一个数的个位上是0或5，那么这个数就是5的倍数。 4.奇数与偶数 （1）奇数:自然数中，不是2的倍数的数叫作奇数，也叫单数。 自然数中，一个数不是奇数就是偶数。两个连续的自然数中，必有一个奇数，一个偶数。 （2）偶数:自然数中，是2的倍数的数叫作偶数，也叫双数。其中0也是偶数。 （3）奇数与偶数的性质 分类 加、减法性质 乘法性质 两奇 奇+奇=偶 奇-奇=偶 奇×奇=奇 两偶 偶+偶=偶 偶-偶=偶 偶×偶=偶 一奇一偶 奇+偶=奇 奇-偶=奇 偶-奇=奇 奇×偶=偶 偶×奇=偶 知识点3：质数、合数与分解质因数 1.质数与合数 （1）质数:一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫作质数，也叫作素数。 （2）合数:一个数，除了1和它本身以外还有别的因数，这样的数叫作合数。 注:① 0和1既不是质数也不是合数。 ② 除0和2外，所有的偶数都是合数。除2外，所有的质数都是奇数。 ③ 100以内的质数:2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43， 47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。 2.判断质数的方法 （1）对照法 判断小于100的数是不是质数，通过对照100以内的质数表来判断。 （2）试除法 用试除法判断一个数是不是质数，用2，3，5，7，11等质数去试除，如果到某一个质数正好整除，那么这个数就不是质数。如果不能整除，当除得的商小于除数时，就不必除了，可以断定这个数一定是质数。 3.分解质因数 （1）分解质因数:每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫作这个合数的质因数。把一个合数用其质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。 （2）分解质因数的方法 ① 塔式分解法:对于一个较小的数，可采用塔式图进行分解。 ② 短除法:把要分解质因数的数写在短除号“L”里。在被除数的左边写出除数（除数一定是质数，一般按从小到大的顺序，从最小的质数开始除），如果得出的商还是合数，就按照上面的方法继续除，直到得出的商是质数为止。最后把所有除数和最后的商写成连乘的形式。 7 知识点4 ：公因数和公倍数 1.公因数和最大公因数 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数，其中最大的一个数，叫作这几个数的最大公因数。求两个数的最大公因数可以用（ ，）表示，例如（12，20）＝4，表示12和20的最大公因数是4。 2.求最大公因数常用的方法 （1）如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。 （2）两个数互质时，最大公因数是1。 （3）枚举法:把几个数的所有因数列出来，找到其中最大的因数（适用于较小的数）。 （4）分解质因数法:几个自然数的最大公因数，是这几个自然数全部公有质因数的乘积，因此可以先把各个数分解质因数，再把这几个自然数全部公有的质因数选出来，进行连乘，所得的积就是要求的最大公因数。 注:① 对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数; ② 互质的两个数未