专题2.4分类与整合思想中的九种题型（导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体与解析几何、计数原理与统计概率）-2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（上海地区专用）） 专题2.4分类与整合思想中的九种题型 题型一：导数及其应用 一、填空题 1．（2022秋·上海长宁·高一统考期末）已知函数；若存在相异的实数，使得成立，则实数的取值范围是__________. 二、解答题 2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数（是自然对数的底数）． （1）设，，求证：； （2）设，若，试讨论在上的零点个数．（参考数据） 3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 (1)求的最小值； (2)若，讨论在区间上的单调性； 4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数，求函数的极大值与极小值． 5．（2022·全国·高三专题练习）已知函数，，曲线和在原点处有相同的切线l． (1)求b的值以及l的方程； (2)判断函数在上零点的个数，并说明理由． 题型二：三角函数与解三角形 1．（2022·上海·高三专题练习）已知函数若在区间D上的最大值存在，记该最大值为，则满足等式的实数a的取值集合是___________. 2．（2022·上海市松江二中高三开学考试）某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标与时间（单位：小时）之间的关系的函数模型：，，其中，代表大气中某类随时间变化的典型污染物质的含量，参数代表某个已测定的环境气象指标，且.现环保部门欲将的最大值作为每天的大气环境综合指数予以发布. (1)求的值域； (2)若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过，请求出的表达式，并预测该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由. 题型三：平面向量 一、单选题 1．（2022·全国·高三专题练习）已知向量，，则的最大值为（       ） A． B．2 C． D．1 二、解答题 2．（2023春·上海闵行·高二校联考阶段练习）我们称元有序实数组为维向量，为该向量的范数，已知维向量，其中，记范数为奇数的维向量的个数为，这个向量的范数之和为. (1)求和的值； (2)求的值； (3)当为偶数时，证明：. 3．（2022春·上海徐汇·高一上海中学校考期末）我们学过二维的平面向量，其坐标为，那么对于维向量，其坐标为.设维向量的所有向量组成集合.当时，称为的“特征向量”，如的“特征向量”有，，，.设和为的“特征向量”， 定义. （1）若，，且，，计算，的值； （2）设且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，当时，为奇数；当时，为偶数.求集合中元素个数的最大值； （3）设，且中向量均为的“特征向量”，且满足：，，且时，.写出一个集合，使其元素最多，并说明理由. 题型四：数列 1．（2022·上海·高三专题练习）若数列的通项公式分别为，，且对任意恒成立，则实数的取值范围为（       ） A． B． C． D． 2．（2020·上海闵行·一模）已知各项为正数的非常数数列满足 ，有以下两个结论:①若，则数列是递增数列；②数列奇数项是递增数列则（       ） A．①对②错 B．①错②对 C．①②均错误 D．①②均正确 3．（2022·上海·高三专题练习）已知函数各项均不相等的数列满足.令.给出下列三个命题：（1）存在不少于3项的数列使得；（2）若数列的通项公式为，则对恒成立；（3）若数列是等差数列，则对恒成立，其中真命题的序号是（       ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（1）（2）（3） 4．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，如果存在最小的一个常数，使得对任意的正整数恒有成立，则称数列是周期为的周期数列.设，数列前项的和分别记为，则三者的关系式___________；已知数列的通项公式为，那么满足的正整数=___________. 5．（2022·上海师大附中高三阶段练习）已知{}是公差为的等差数列，若存在实数，，，…，满足方程组：，则d的最小值为___________ 6．（2022·上海杨浦·二模）已知a为实数，数列{}满足：①；②.若存在一个非零常数，对任意，都成立，则称数列{}为周期数列. (1)当时，求的值； (2)求证：存在正整数n，使得； (3)设是数列{}的前n项和，是否存在实数a满足：①数列{}为周期数列；②存在正奇数k，使得.若存在，求出所有a的可能值；若不存在，说明理由. 7．（2022·上海宝山·一模）已知函数，无穷数列满足，. (1)若，写出数列的通项公式（不必证明）； (2)若，且，，成等比数列，求的值；问是否为等比数列，并说明理由； (3)证明：，，，，成等差数列的充要条件是. 8．（2022·上海·高三专题练习）对于数列，若存在，使得对任意都成立，则称数列为“-折叠数列”. （1）若，判断数列是否是“-折叠数列”，如果是，指出的值，如果