湖南省邵阳市邵东市第一中学2022-2023学年高一下学期4月期中考试数学试题

邵东一中2023年高一下学期期中考试（数学） 一、单选题（每小题5分） 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C． D．5 4．在中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若的面积是，则（    ） A． B． C． D． 5．若，，且，的最小值为（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 6．已知，则（    ） A． B． C． D．3 7．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知，则该半正多面体外接球的表面积为（    ） A．18π B．16π C．14π D．12π 8．已知函数，若函数恰有8个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题（每小题5分） 9．下列正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知正数x，y满足，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为1 B．的最大值为2 C．的最小值为2 D．的最大值为1 11．如图，在直三棱柱中，，，，侧面的对角线交点，点是侧棱上的一个动点，下列结论正确的是（    ） A．直三棱柱的侧面积是 B．直三棱柱的外接球表面积是 C．三棱锥的体积与点的位置有关 D．的最小值为 12．已知定义在R上的函数不恒等于零，，且对任意的∈R，有，则（    ） A． B．是偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．是的一个周期 三、填空题（每小题5分，16题第一问2分，第二问3分） 13．已知，且，为虚数单位，则的最大值是__． 14．在中，，，，若用正弦定理解此三角形时有两个解，则的取值范围是__． 15．如图，在中，P为线段AB上一点，则，若，，，且与的夹角为，则的值为_______. 16．已知函数（，）在区间上单调，且满足. （1）若，则函数的最小正周期为______. （2）若函数在区间上恰有5个零点，则的取值范围为______. 四、解答题（17题10分，18-22每题12分） 17．函数的部分图象如图所示． (1)求函数的解析式； (2)若函数在区间上恰有个零点，求的取值范围． 18．已知，，是同一平面内的三个不同向量，其中. (1)若，且，求； (2)若，且，求的最小值，并求出此时与夹角的余弦值. 19. 已知圆锥的底面半径，高 （1）求圆锥的表面积和体积 （2）如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值 20．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求周长的取值范围. 21．某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，为了研究市场的反应，该企业计划用一年时间进行试产、试销．通过市场分析发现，生产此款手机全年需投入固定成本280万元，每生产x千部手机，需另投入成本万元，且假设每部手机售价定为0.8万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完． (1)求出全年的利润（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式（利润＝销售额－成本）； (2)当全年产量为多少千部时，该企业所获利润最大？最大利润是多少万元？ 22．定义在上的函数满足：对任意给定的非零实数，存在唯一的非零实数，成立，则称函数是“v型函数”．已知函数，，． (1)若在区间上是单调函数，求实数a的取值范围； (2)设函数是“v型函数”，若方程存在两个不相等的实数，求的取值范围． 参考答案： 1．D 【分析】根据整数集的性质，结合集合交集的运算定义进行求解即可. 【详解】因为，所以. 故选：D 2．D 【分析】使用复数的除法运算解决。 【详解】，虚部为-， 故选：D 3．C 【分析】根据向量基本定理及向量共线定理的推论得到，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】若三点共线，，则， 理由如下： 因为三点共线，则有，即， 即，故，故， 其中， 、、三点共线， ， ， 当且仅当，即时，等号成立． 故选：C． 4．A 【分析】根据正余弦定理及面积公式化简计算即可. 【详解】由余弦定理可得： 由条件及正弦定理可得： ， 所以，则． 故选：A 5．D 【分析】由，可得，后由基本不等式可得答案. 【详解】，， 于是， 当且仅当，即时取等号. 故选：D 6．D 【分析】对所求式子利用诱导公式进行化简，再利用弦化切即可求解. 【详解】， 则， 故选：D. 7．A 【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心