专题02 函数概念、表示、单调性、最值、奇偶性、周期性、对称性-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题02函数概念、表示、单调性、最值、奇偶性、周期性、对称性 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：求函数的定义域 考点二：求函数的解析式 考点三：分段函数求值 考点四：分段函数与方程、不等式问题 考点五：函数的值域 考点六：抽象函数（赋值、定义域） 考点七：确定函数的单调性(区间) 考点八：函数的最值(值域) 考点九：利用单调性比较大小 考点十：求解函数不等式 考点十一：求参数的值或取值范围 考点十二：函数奇偶性的判断 考点十三：函数奇偶性的应用 考点十四：函数的周期性及其应用 考点十五：函数的单调性与奇偶性 考点十六：函数的奇偶性与周期性 考点十七：函数的奇偶性与对称性相结合 考点十八：抽象函数的周期性问题 考点十九：函数的对称性问题 考点二十：奇函数的最值问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 【思维方法】 1.函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)． 2.求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍． 3.求抽象函数的定义域： ①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域； ②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域． 4.已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解． 5.函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； (4)消去法：已知f(x)与f或f(－x)之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)． 6.确定函数单调性的方法：(1)定义法和导数法，证明函数单调性只能用定义法和导数法；(2)复合函数法，复合函数单调性的规律是“同增异减”；(3)图象法，图象不连续的单调区间不能用“∪”连接． 7.求函数最值的五种常用方法及其思路 (1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值． (2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值． (3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值． (4)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． (5)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． 8.函数单调性应用问题的常见类型及解题策略 (1)比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决． (2)解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． (3)利用单调性求参数． ①视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数； ②需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的； ③分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值． 9.对于抽象函数的单调性的证明，只能用定义．应该构造出f(x2)－f(x1)并与0比较大小．将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点．要构造出f(M)<f(N)的形式． 10.利用定义判断函数奇偶性的步骤： 11.函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． 12.关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题． 13.掌握以下两个结论，会给解题带来方便： ①f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(|x|)．②若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0. 【查缺补漏】 【考点一】求函数的定义域 【典例1】函数f(x)＝＋ln(3x－1)的定义域为(　　) A. B. C. D. 【解析】要使函数f(x)＝＋ln(3x－1)有意义， ⇒<x≤. ∴函数f(x)的定义域为.故选B. 【典例2】已知函数f(x)＝的定义域是R，则实数a的取