专题03 指数函数、对数函数、幂函数、二次函数-【三轮冲刺】2023年新高考数学考点查缺补漏与热点预测（新高考专用）

专题03指数函数、对数函数、幂函数、二次函数 一、思维方法 二、查缺补漏 考点一：指数幂的运算 考点二：指数函数的图象及应用 考点三：比较指数式的大小 考点四：解简单的指数方程或不等式 考点五：指数函数性质的综合应用 考点六：对数的运算 考点七：对数函数的图象及应用 考点八：比较对数值大小 考点九：解简单的对数不等式 考点十：对数型函数性质的综合应用 考点十一：幂函数的图象和性质 考点十二：二次函数的解析式 考点十三：二次函数的图象 考点十四：二次函数的单调性与最值 考点十五：二次函数中的恒成立问题 三、真题训练 2021年真题 2022年真题 四、热点预测 【思维方法】 1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序. 2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数. 3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 4.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 5.有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解. 6.比较指数式的大小的方法是： (1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； (2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小. 7.指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化. 8.涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断. 9.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并. 10.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算. 11.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 12.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项. 13.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 14.比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0<a<1两种情况讨论. 15.与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的. 16.对于幂函数图象的掌握，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定. 17.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 18.在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴. 19.求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下： 20.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是图象上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向. 21.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件. 22.闭区间上二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合图象，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解. 23.二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动.无论哪种类型，解题的关键都是图象的对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据图象的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论. 24.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键 (1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数. (2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否易分离.其中分离参数的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min. 【查缺补漏】 【考点一】指数幂的运算 【典例1】已知f(x)＝2x＋2－x，若f(a)＝3