重难点07 函数类综合问题-2023年中考数学【热点·重点·难点】专练（全国通用）

重难点07 函数类综合问题 首先告诉各位同学二次函数是中考必考内容之一，往往也是中考数学的压轴大戏．涉及题目数量一般3-4题，其中有1-2道大题．所占分值大约25分左右．二次函数在中考数学中常常作为压轴题，而在压轴题中，一般都设计成三至四小问，其中第一、二小问比较简单，最后一至两问难度很大．二次函数在考查时，往往会与一次函数、反比例函数、圆、三角形、四边形、几何变换相结合，综合性很强，技巧性也很强，同时计算量一般很大，加上二次函数本身就比较抽象，这就导致了题目得分率非常低．其实我们只要能熟练掌握二次函数的基本知识，同时掌握一些常见的题型，提高对于二次函数的得分，不是什么难事，多多练习，多多总结． 1．通过思维导图整体把握二次函数所有考点 1）图象与性质：（函数的三种表达式、开口问题、顶点坐标、对称轴、最值、增减性、图象的平移等）； 2）与一元二次方程（不等式）结合（交点坐标与方程的根的关系）； 3）与实际生活结合（用二次函数解决生活中的最值（范围）问题） 2.二次函数的压轴题主要考向 1）存在性问题（全等与相似、特殊三角形（直角、等腰、等边）、平行四边形（含特殊平行四边形）、几何变换等）； 2）最值问题（线段、周长、面积） 3．熟练掌握各种常见有关二次函数的题型和应对策略 1）线段最值（周长）问题——斜化直策略 2）三角形或多边形面积问题——铅垂高、水平宽策略 3）线段和最小值问题——胡不归+阿氏圆策略问题 4）线段差——三角形三边关系或函数 5）相似三角形存在性问题——根据相等角分类讨论 6）（特殊）平行四边形存在性问题——中点公式+平移法 限时检测1：最新各地模拟试题（90分钟） 1．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结果． 【详解】解：如图， 作射线，作于E，作于F，交y轴于， 抛物线的对称轴为直线，∴， 当时，，∴，当时，，∴，， ∴，∴，∵，∴，∴， ∴，当点P在时，最小，最大值等于， 在中，，， ∴，∴，故选：A． 【点睛】本题以二次函数为背景，考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，解直角三角形等知识，解决问题的关键是用三角函数构造． 2．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）如图，抛物线与轴交于点，，交轴的正半轴于点，对称轴交抛物线于点，交轴于点，则下列结论：①，②（为任意实数）；③若点为对称轴上的动点，则有取大值，最大值为；④若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的序号有（    ）． A．①②③④ B．①②③ C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】根据抛物线开口向下可得，根据对称性求出对称轴为直线，则，再由抛物线交y轴的正半轴，得到，由此即可判断①；根据时，二次函数有最大值，最大值为，则，即可判断②；由对称性可知，则，即可判断③；先求出，进而推出，则，由m是方程的一个根，得到或，然后分别计算出的值即可判断④． 【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线与x轴交于点，， 对称轴为直线，， 抛物线交y轴的正半轴，，，故①正确； 对称轴为直线，开口向下，时，二次函数有最大值，最大值为， （m为任意实数）即，故②正确； 对称轴交y轴的正半轴于点C，，由对称性可知， ，故③不正确； 抛物线与x轴交于点，， ，，， ，m是方程的一个根，或， 当时，，当时，， 若m是方程的一个根，则一定有成立，故④正确；故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象和性质，二次函数与一元二次方程之间的关系，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x轴交点进行计算． 3．（2023·福建漳州·统考一模）已知抛物线的图象与轴交于，两点（点在点的左则），与轴交于点，连接，直线与轴交于点D，交上方的拋物线于点，交于点，下列结论中错误的是（    ） A．点C的坐标是 B． C．当的值取得最大时， D．是直角三角形 【答案】C 【分析】令，，可判断选项A正确；求得点D的坐标是，可判断选项B正确；求得，，利用勾股定理的逆定理可判断选项D正确；由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，根据平行线截线段成比例将求的最大值转化为求的最大值，所以利用一次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象上点的坐标特征，两点间的距离公式以及配方法解题即可． 【详解】解：令，，∴点C的坐标是，故选项A正确； 令，，则点D的坐标是，∴，故选项B正确； 令，则，解得，∴，， ∴，，， ∴，∴是直角三角形，故选项D正确； 由题意知，点E位于y轴右侧，作轴，交于点G，∴，∴． ∵直线与