专题2.5转化与化归思想中的九种题型（导数、三角函数、平面向量、数列、不等式、立体与解析几何、计数原理与统计概率）-2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）

2023年高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）） 专题2.5转化与化归思想中的九种题型 题型一：导数及其应用 一、单选题 1．（2023·辽宁盘锦·盘锦市高级中学校考一模）已知函数，若对于任意的实数恒有，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可将题目转化为，即，显然，运用参数分离和二倍角公式可得，求出右边函数的范围，即可得解. 【详解】对于任意的实数恒有，即， 即，显然， 当时，显然成立；由偶函数的性质，只要考虑的情况即可， 当时，，即 由，则，则题目转化为， 令，求导， 故函数在上单调递减，，即， ，即，所以，解得 所以实数的取值范围是 故选：A 2．（2023·全国·高三专题练习）设大于1的两个实数a，b满足，则正整数n的最大值为（    ）． A．7 B．9 C．11 D．12 【答案】B 【分析】将已知条件变形为，构造两个函数，对函数求导，根据函数的单调性求出的最大值即可. 【详解】解：易知等价于． 令，则． 令得． 当时；当时． 所以在上单调递增，在上单调递减， 则有最大值． 令，则． 当时不符合，舍去，所以． 则，． 当时；当时． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则有最小值． 若成立，只需， 即，即． 两边取自然对数可得． 当时等式成立；当时有． 令，本题即求的最大的正整数． 恒成立，则在上单调递减． 因为，，， 所以的最大正整数为9． 故选：B． 【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，同时也考查转化与化归的数学思想，对解题能力有一定的挑战性，是难题. 3．（2022·全国·高三专题练习）已知实数， 函数， 满足， 则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设是的两个零点且，应用根与系数关系求得，，进而代换目标式得到以为参数、为自变量的二次函数，由二次函数的性质可得，构造函数并应用导数研究单调性，即可求最大值. 【详解】令是的两个零点，由题设若 由根与系数关系有：，， 所以， 由，则， 所以， 令，则，在上， 所以在上递增，则. 综上，，此时， 所以时，的最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：设的零点并注意，由根与系数关系用零点表示m、n，进而转化为以为自变量的二次函数形式，根据其开口方向及其最值得到不等关系，最后构造函数并应用导数求不等式中关于表达式的值域. 二、多选题 4．（2022秋·江苏南通·高三统考期中）设定义在上的函数和的导数分别为和，若，，且为奇函数，则（    ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据为奇函数推出对称中心为，从而判断A； 根据可得，由，得，将代入，得的对称轴为，由，可得的图象关于点对称，从而判断B； 根据的对称轴和对称中心进而可得的周期，与的周期，从而可判断C； 再利用赋值法即可判断D. 【详解】解：由为奇函数，则过，图象向右平移一个单位得过，A选项正确； 又，则， 因为，则， 所以， 令，得，则， 所以，即，则关于直线对称， 两边求导得， 函数的图象关于点对称，B选项错误； 因为关于点对称，关于直线对称， 即，， 所以，则， 所以的周期； 所以，， 所以，C选项正确； 又函数关于直线对称， 所以函数在左右两侧单调性相反，且， 令，得，所以， ，D选项正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于函数关于对称，等价于，关于对称，等价于或. 5．（2022·全国·高三专题练习）我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m位n进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式子，再进行大小比较即可. 【详解】对于A：即是：，A正确； 对于B：即是： 即是：，B正确； 对于C、D： ，即是： ，即是： 构造函数：，求导得： ，，单调递增； ，，单调递减； 代入得： 即是：， ，D正确. 故选：ABD 【点睛】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用， 运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题. 三、填空题 6．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考阶段练习）已知正数a，b满足，则___________. 【答案】 【分析】利用基本不等式知，令，利用导数研究函