函数的单调性与最值学案-2023届高三数学一轮复习备考

高三数学一轮复习学案4---函数的单调性与最值 1、 知识要点 1、函数单调性的定义 一般的，设函数的定义域为I,如果在定义域I内某个区间D上的任意两个自变量， 且，(1)都有，则称函数在区间D上为增函数，D为单调递增区间；(2) 都有，则称函数在区间D上为减函数，D为单调递减区间。 说明：(1)若函数在某区间上是增函数或减函数，则称在该区间上是单调函数。 (2)函数单调性是相对于区间而言的，离开区间说函数单调性是不对的。 (3)单调区间必须在定义域内，且只能用区间表示，不能用集合或不等式表示。 (4)多个单调区间应分别写，用逗号或和（与）分开，不能用并集符合“”联结。 (5)函数在多个区间上为增(减)函数，但不能说函数在上是增(减)函数。 (6)单调性定义的等价形式：设，若有或 ，则在区间D上是增函数；若有或 ，则在区间D上是减函数 2、函数单调性的证明与判断 方法一：定义法 方法二：导数法 方法三：图像法（分段函数） 3、熟记常用函数的单调性 (1)，， (2) (3) 4、函数单调性的常用结论 若函数在区间D上均为增函数，则： (1) 在D上为增函数 (2) 在D上为增函数 (3)在D上增函数 (4)在D上为减函数 (5)在D上为减函数 5、复合函数的单调性 复合函数的单调性，一般由函数和的单调性根据“同增异减”原则来确定。 当时，有相反的单调性，当时，有相同的单调性 注：在函数中，要考虑定义域的限制。 6、函数最值的常用求法 (1)单调性法---分析函数的单调性，确定最值 (2)图像法---作函数图像，确定其最高点和最低点 (3)基本不等式法---和的形式为互为倒数，积的形式为互为相反数 2、 应用举例 1、 求函数的单调区间 例1、求下列函数的单调区间 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 2、 函数单调性的判断与证明 例2、判断函数在上的单调性，并加以证明 3、 函数单调性的应用 类型1：利用函数单调性求参数问题 例3、(1)若函数在上是增函数，则的取值范围为_________ (2)若函数在上为增函数，则的取值范围为_________ (3)若函数在上是减函数，则的取值范围为__________ (4)若函数在上是增函数，则的取值范围为__________ 例4、(1)若函数在内单调递减，则的取值范围为______ (2)若函数在R上单调递减，则的取值范围为_________ (3)若函数在上单调递增，则的取值范围为_________ 类型2：利用函数单调性求最值问题 例5、(1)函数在上的最大值为_______，最小值为________ (2) 定义新运算：当时，；当时，，则函数 在上的最大值为__________ (3) 设函数，，则函数的值域为_______ (4)记，则函数的最小值为_________ (5)设函数的最大值为M，最小值为N，则M+N=_________ 类型3：利用函数单调性比较大小问题 例6、(1)设，则的大小关系为___________ (2)若是定义在R上的减函数，则当时下列不等式正确的是（ ） A、 B、 C、 D、 类型4：利用函数单调性解不等式问题 例7、(1)已知函数，若，则的取值范围为______ (2)已知函数，则不等式的解集为_________ (3)已知函数对任意，且，都有，若，则不等式的解集为_________ 例8、(1)已知是定义在上的增函数，且满足， 则不等式的解集为_______ (2) 函数对任意的，都有，且当时， 恒有 (I)求的值 (II)求证：在R上是增函数 (III)若，解不等式 学科网（北京）股份有限公司 $