2.4.2 圆的一般方程学案-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学学案聚焦“圆的一般方程”核心知识点，通过复习圆的标准方程导入，引导学生用配方转化一般方程，结合基础巩固的概念辨析与公式记忆，搭建从标准到一般的学习支架，帮助理解圆心、半径公式及方程成立条件。 资料以梯度分层设计为特色，基础巩固夯实概念，回归教材融入实际问题（如等腰梯形外接圆）培养数学眼光，提升训练通过轨迹、对称等问题发展数学思维与模型意识，配套详细解析助力学生自主学习，有效提升课堂效率。

2.4.2 圆的一般方程 梯度分层 基础巩固：概念辨析，公式记忆，夯实根本 回归教材：知识熟用，教材过关，聚焦核心 提升训练：习题突破，提炼策略，素养提升 ( 基础巩固 1 ) 圆的一般方程：方程表示以 为圆心，为半径的圆. 当 时，方程表示一个圆. ( 回归教材 2 ) ①练习 1.求下列各圆的圆心坐标和半径： （1）； （2）； （3）. 2.判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由： （1）； （2）； （3）. 3.如图，在四边形ABCD中，，，且，，AB与CD间的距离为3.求等腰梯形ABCD的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径. ②习题 已知动点M与两个定的距离的比为，求动点M的轨迹方程，并说明轨迹的形状. ( 提升训练 3 ) 1.若圆的圆心到两坐标轴的距离相等，则( ) A. B.1 C. D. 2.已知点,点B在圆上运动,则线段的中点M的轨迹方程是( ) A. B. C. D. 3.圆的圆心在第三象限，则m的取值范围为( ) A. B. C. D. 4.已知圆关于直线对称，则k的值为( ) A. B.1 C. D.0 5.已知圆上所有点都在第二象限，则实数a的取值范围为( ) A. B. C. D. 6.已知圆C的方程为，点P在圆C上，O是坐标原点，则的最小值为( ) A.3 B. C. D. 7.（多选）下列有关圆，说法正确的是( ) A.关于点对称 B.关于直线对称 C.关于直线对称 D.关于直线对称 8.已知点是圆上一点，则的取值范围是___________. 9.已知圆E经过点，，且被直线平分. （1）求圆E的一般方程； （2）设点P是圆E上的动点，求线段AP的中点M的轨迹方程. 10.在中，，，边上的中线所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为. （1）求点C的坐标； （2）若，试判断A，B，C，D四点是否共圆，并说明理由. 答案及解析 一、基础巩固 二、回归教材 ①练习 1.答案：（1）圆心为，半径为3 （2）圆心为，半径为 （3）圆心为，半径为 解析：（1）方程， 所以圆心为，半径为3； （2）方程， 所以圆心为，半径为； （3）方程， 所以圆心为，半径为. 2.答案：（1）点 （2）以为圆心，为半径的圆 （3）当时，表示点；当或时，表示以为圆心，为半径的圆 解析：（1），，，故表示； （2）可化为， 所以方程表示以为圆心，为半径的圆； （3）可化为， 当时，方程表示点， 当或时，方程表示以为圆心，为半径的圆. 3.答案：圆心坐标为，半径长为 解析：由题意可知，， 设所求圆的方程为， 则. 解得，故所求圆的方程为， 其圆心坐标为，半径长为. ②习题 答案：设点M的坐标为，根据题设条件有. 因为，所以有. 化简，得. 由以上过程知，满足条件的点M的坐标满足方程；反过来，坐标满足方程的点也满足，即满足条件. 所以，点M的轨迹方程是. 所以点M的轨迹是以为圆心，2为半径的圆. 三、提升训练 1.答案：C 解析：圆 化为标准方程为， 则圆心为，半径， 由题意得，解得. 故选：C. 2.答案：A 解析：设,, 由题意可知,所以, 又因为, 所以, 化简可得, 所以M的轨迹方程为, 故选:A. 3.答案：A 解析：由， 配方得， 圆心坐标为. 因为圆心在第三象限， 所以， 解得. 故选：A 4.答案：A 解析：将圆的一般方程化为标准方程得，则圆心坐标为. 圆关于直线对称，直线经过圆心， ，解得. 当时，，不符合题意，. 故选A. 5.答案：A 解析：由，得，所以圆心坐标为，半径为3，因为圆上所有点都在第二象限，所以解得，故选A. 6.答案：B 解析：将圆C的一般方程化为标准方程，得，所以该圆的圆心是，半径.连接OC.因为原点到圆心的距离，所以.故选B. 7.答案：ABC 解析：将圆的一般方程化为标准方程，得，所以该圆的圆心坐标为.对于A，圆是关于圆心对称的中心对称图形，所以A正确.对于B，C，D，圆是关于直径所在直线对称的轴对称图形，直线过圆心，直线过圆心，但直线不过圆心，所以B，C正确，D不正确.故选ABC. 8.答案： 解析：由得，所以圆心，半径为1.表示圆上的点到直线的距离的2倍，因为圆心到直线的距离，所以圆上的点到直线的距离的最小值为1，最大值为3，所以的最小值为2，最大值为6，所以的取值范围为. 9.答案：（1） （2） 解析：（1）易知直线恒过定点. 因为圆E被直线平分， 所以直线恒过圆心，所以圆心坐标为. 又圆E经过点，所以圆E的半径， 所以圆E的方程为，即. （2）设.因为M为线段AP的中点，所以. 因为点P是圆E上的动点， 所以，即. 所以点M的轨迹方程为. 10.答案：（1） （2）A，B，C，D四点共圆，理由见解析 解析：（1）由题意可知点C的横坐标为1. 设，则AC边所在直线的斜率. 易知AC边上的高所在直线的斜率为， 所以，解得，即. （2）设过，，三点的圆的方程为， 则解得 所以圆的方程为. 又. 所以在圆上，故A，B，C，D四点共圆. 学科网（北京）股份有限公司 $$