2023年中考数学复习　圆解答题专题训练

圆 1.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A，过点A作AB⊥OP，交⊙O于点B. (1)求证：PB是⊙O的切线； (2)若AB＝6，cos∠PAB＝，求PO的长. 2. 如图，在⊙O中，AC为⊙O的直径，AB为⊙O的弦，点E是的中点，过点E作AB的垂线，交AB于点M，交⊙O于点N，分别连接EB，CN. (1)EM与BE的数量关系是 ； (2)求证：＝； (3)若AM＝，MB＝1，求阴影部分图形的面积. 3. 如图，AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l，垂足为D，AD交⊙O于点E，连接CE. (1)求证：∠CAD＝∠CAB； (2)若EC＝4，sin∠CAD＝，求⊙O的半径． 4.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点(与点A、B不重合)，过点C作直线PQ，使得∠ACQ＝∠ABC. (1)求证：直线PQ是⊙O的切线； (2)过点A作AD⊥PQ于点D，交⊙O于点E，若⊙O的半径为2，sin∠DAC＝，求图中阴影部分的面积． 5. 古希腊数字家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”，请研究如下美丽的圆，如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点O在线段BC上，且OC＝，以O为圆心，OC为半径的⊙O交线段AO于点D，交线段AO的延长线于点E. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)研究过程中，小明同学发现＝.回答小明同学发现的结论是否正确？如果正确，给出证明；如果不正确，说明理由． 6. 古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点(不与点A，B重合)，连接CD，PE，PC. (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)小明在研究的过程中发现是一个确定的值，回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明． 7. 如图，点P在⊙O外，PC是⊙O的切线，C为切点，直线PO与⊙O相交于点A、B. (1)若∠A＝30°，求证PA＝3PB； (2)小明发现，∠A在一定范围内变化时，始终有∠BCP＝(90°－∠P)成立．请你写出推理过程． 8. 如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A. (1)求证：AB是⊙O的切线； (2)若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，tan∠A＝，求AE的长． 9. 如图所示，以△ABC的边AB为直径作⊙O，点C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，过C作CE∥BD交AB的延长线于点E. (1)(4分)求证：CE是⊙O的切线； (2)(4分)求证：CG＝BG； (3)(4分)若∠DBA＝30°，CG＝4，求BE的长． 10.如图，已知直线PT与⊙O相切于点T，直线PO与⊙O相交于A，B两点． (1)求证：PT2＝PA·PB； (2)若PT＝TB＝，求图中阴影部分的面积． 11.如图，已知AB为⊙O的直径，D是的中点，DE⊥AC交AC的延长线于E，⊙O的切线BF交AD的延长线于F. (1)求证：直线DE与⊙O相切； (2)已知DG⊥AB且DE＝4，⊙O的半径为5，求tan∠F的值． 12.如图，AB是⊙O的直径，点D是上一点，且∠BDE＝∠CBE，BD与AE交于点F. (1)求证：BC是⊙O的切线；(4分) (2)若BD平分∠ABE，求证：DE2＝DF·DB；(4分) (3)在(2)的条件下，延长ED、BA交于点P，若PA＝AO，DE＝2，求PD的长．(4分) 答案解析 1.【思维教练】(1)连接OB，BC，根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，证明△AOP≌△BOP，得到∠OBP＝∠OAP，根据切线的判定定理证明；(2)根据余弦的定义求出PA，证明△PAO∽△PDA，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． (1)证明：如解图，连接OB，BC，设AB与OP的交点为D， ∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， ∵AB⊥PO， ∴PO∥BC. ∴∠AOP＝∠C，∠POB＝∠OBC， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠C， ∴∠AOP＝∠POB， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP(SAS)， ∴∠OBP＝∠OAP， ∵PA为⊙O的切线， ∴∠OAP＝90°， ∴∠OBP＝90°， ∵OB为⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线； (2)解：∵AB⊥OP， ∴AD＝AB＝3， ∵cos∠PAB＝， ∴＝， ∴AP＝5， ∴PD＝＝4， ∵∠PAO＝∠PDA＝90°，∠APO＝∠DPA， ∴△PAO∽△PDA， ∴＝，即＝， ∴PO＝. 2.解：(1)EM＝BE