上海市位育中学2022-2023学年高三下学期周测3（2023.2）数学试题

位育中学2022学年第二学期高三年级数学周测3 2023.2 一、填空题（本大题共有12题，满分54分．其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分） 1．已知复数，则等于______． 2．若，则______． 3．设等差数列的前n项和为，且，，则______． 4．在的二项展开式中，的系数是______． 5．如图所示，在直三棱柱中，，，即平面与平面ABC所成的锐二面角的大小为______． 6．从本市某高中全体高二学生中抽取部分学生参加体能测试，按照测试成绩绘制茎叶图，并以、、、、为分组作为频率分布直方图，后来茎叶图受到了污损，可见部分信息如图，则a的值为______． 7．已知函数在内可导，且，则______． 8．如图，四边形ABCD为梯形，，，图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的体积为______． 9．已知函数的图象经过点和．若函数在区间上有唯一零点，则实数m的取值范围是______． 10．已知函数，，若对任意的实数、，均有，则实数k的取值范围是______． 11．圆心为M的圆及其上一点，设点满足：存在圆M上两点P和Q，使得，则实数t的取值范围是______． 12．设，是椭圆的左、右焦点，椭圆上存在点M，，，使得离心率，则e的取值范围为______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分．其中第13~14题每题满分4分，第15~16题每题满分5分） 13．已知x，y的几组数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 y 0 2 1 3 3 4 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为，若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ） A．， B．， C．， D．， 14．已知实数a，b，那么“”是“”的（ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分且非必要条件 15．已知直线m，n及平面，其中，那么平面内到两条直线m，n距离相等的点的集合是：（1）一条直线；（2）一个平面；（3）一个点；（4）空集，其中所有正确结论的序号是（ ） A．（1）（2）（3） B．（1）（2）（4） C．（1）（4） D．（2）（4） 16．已知函数的定义域为，当时，且对任意，等式成立，若数列满足，且，则下列结论成立的是（ ） A． B． C． D． 三、解答题 17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，，点E是线段SD上任意一点． （1）求证：； （2）试确定点E的位置，使BE与平面ABCD所成角的大小为． 18．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 某校开设8门校本课程，其中4门课程为人文科学，4门为自然科学，学校要求学生在高中三年内从中选修3门课程，假设学生选修每门课程的机会均等． （1）求某同学至少选修1门自然科学课程的概率； （2）已知某同学所选修的3门课程中有1门人文科学，2门自然科学，若该同学通过人文科学课程的概率都是，自然科学课程的概率都是，且各门课程通过与否相互独立用表示该同学所选的3门课程通过的门数，求随机变量的概率分布列和数学期望． 19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分． 某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧MPN（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为，要求A，B均在线段MN上，C，D均在圆弧上．设OC与MN所成的角为． （1）用分别表示矩形ABCD和的面积，并确定的取值范围； （2）若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为．求当为何值时，能使甲、 乙两种蔬菜的年总产值最大． 20．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 如图，，是双曲线的两个焦点，O为坐标原点，圆O是以为直径的圆，直线与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点． （1）根据条件求出b和k的关系式； （2）当时，求直线l的方程； （3）当，且满足时，求面积的取值范围． 21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分． 已知函数． （1）是的导函数，求的最小值； （2）已知，，证明：； （3）若恒成立，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $