2022年江苏西安交通大学苏州附属中学纳米人才实验班自主招生数学试卷

2022年苏州工业园区西附高中纳米人才实验班自主招生 数学试卷 一、单项选择题：本大题共6小题，每小题6分，共计36分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的。请把正确的选项填在相应的位置上. 1．（6分）数整数部分的个位数是　　 A．1 B．2 C．3 D．以上都不是 2．（6分）甲、乙、丙共3人参加三项知识竞赛，每项知识竞赛第一名到第三名的分数依次为10，5，3．竞赛全部结束后，甲获得其中两项的第一名及总分第一名，则下列说法错误的是　　 A．第二名、第三名的总分之和为29分或31分 B．第二名的总分可能超过18分 C．第三名的总分共有3种情形 D．第三名不可能获得其中任何一场比赛的第一名 3．（6分）已知实数，满足且，则的值为　　 A． B． C． D．2 4．（6分）如图，矩形的顶点，分别在轴、轴上，，，将矩形绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2022次旋转结束时，点的坐标为　　 A． B． C． D． 5．（6分）在中，，点在边上，且满足，，则　　 A． B． C． D． 6．（6分）将一个正整数写成若干个正整数的和，俗称数的“拆分”．著名的哥德巴赫猜想：任一大于2的偶数都可写成两个质数之和简称 “” ，研究的就是正偶数的一种“拆分”问题． 对哥德巴赫猜想，我们常用“”表示如下命题：每个大于2的偶数都可以表示为，其中、为素因子个数不超过、的正整数．显然哥德巴赫猜想可以表示为“”．在探索哥德巴赫猜想证明的过程中，我国数学家作出了杰出的贡献：1956年王元证明了“”、“ ”、“ ”，1962年潘承洞证明了“”、王元证明了“”，1966年陈景润证明了“”． 请你完成下列问题： 将2021写成若干个（至少两个）连续正整数和的方式有　　 A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 二、多项选择题：本题共4小题，每小题6分，共计24分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分. 7．（6分）设，是正整数，满足，给出以下四个结论．其中正确的结论是　　 A．，都不等于1 B．，都不等于2 C．，都大于1 D．，至少有一个等于1 8．（6分）如图，在矩形中，，，点，分别是边，上的动点，点不与，重合，且，是五边形内满足且的点．现给出以下结论．其中错误的是　　 A．与一定互补 B．点到边，的距离一定相等 C．点到边，的距离可能相等 D．点到边的距离的最大值为 9．（6分）甲、乙两人同时各接受了600个零件的加工任务，甲比乙每分钟加工的数量多，两人同时开始加工，加工过程中甲因故障停止一会后又继续按原速加工，直到他们完成任务，甲比乙多加工的零件数量）（个与加工时间（分之间的函数关系如图所示，点的横坐标为12，点的坐标为，点的横坐标为128，则下列说法中正确的是　　 A．甲每分钟加工的零件数量是5个 B．在60分钟时，甲比乙多加工了120个零件 C．点的横坐标是200 D．的最大值是216 10．（6分）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于、两点，点在第一象限，点在轴正半轴上，连接交反比例函数图象于点，为的平分线，过点作的垂线，垂足为，连接，，有下列结论，其中正确的是　　 A． B． C． D．若，的面积为4，则的值为6 三、填空题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分 11．（6分）若正数，，满足，，，则　　． 12．（6分）如图，用红，蓝，黄三色将图中区域、、、着色，要求有公共边界的相邻区域不能涂相同的颜色．满足恰好涂蓝色的概率为　 　． 13．（6分）如图，已知内接于，，将弧沿弦翻折后恰好经过弦的中点，则弦的长为 　　，的半径为 　　． 四、解答题：本大题共3个大题，共42分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 14．（12分）若，为锐角且时，现有公式：，利用此公式求解下列问题： （1）求的值； （2）若，为锐角且时，求的值； （3）求的值． 15．（15分）已知关于的方程，其中，都是实数． （1）若时，方程有两个不同的实数根，，且，求实数的值． （2）若方程有三个不同的实数根，，，且，求实数和的值． （3）是否同时存在质数和整数使得方程有四个不同的实数根，，，且？若存在，求出所有满足条件的，．若不存在，说明理由． 16．（15分）如图，边长为8的正方形的两边在坐标轴上，以点为顶点的抛物线经过点，点是抛物线上点，间的一个动点（含端点），过点作于点，点、的坐标分别为，，连接、、． （1）求出抛物线的解析式； （2）小明探究点的位置发现：当点与点或点重合时，与的差为定值，进而猜想：对于任意一点，与的差为定值，请你判断该猜想是否正确，请说明理由； （3）小明进一步探究得出结论：若将“使的面积为整数”的点记作“好点”，则存在多个“好点”，且使的周长最小的点也是