专题09 圆锥曲线中的定点（定直线）问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题09 圆锥曲线中的定点（定直线）问题 圆锥曲线中定点问题是比较常见出题形式，属于中等难度题目。采取常规平民化解法，计算是暴力美学范畴。主要的命题方向：直线方程过定点问题（分定点已知和定点未知两类）、曲线过定点问题、点在定直线上、探究定点满足特殊条件等。解决这类问题的关键就是引进变的参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量． 1、直线方程过定点 技巧方法：1）动直线l过定点问题，设动直线方程(斜率存在)为y＝kx＋t，由题设条件将t用k表示为t＝f（k），或直接求出m的值，故而得出动直线过定点． 上述动直线也可设为：x＝ty＋m.(斜率不为0)。 2）直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点。3）若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过顶点坐标，并带入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 1）、直线方程过未知定点 例1．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知，是双曲线的左､右顶点，为双曲线上与，不重合的点.(1)设直线，的斜率分别为，，求证：是定值；(2)设直线与直线交于点，与轴交于点，点满足，直线与双曲线交于点（与，，不重合）.判断直线是否过定点，若直线过定点，求出该定点坐标；若直线不过定点，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析(2)直线MN过定点 【分析】（1）设，表示出，，为双曲线上的点，化简为定值； （2）设，，BN的斜率为，由已知可得，设MN：，与双曲线联立，利用韦达定理代入，化简得，可知直线MN过定点. 【详解】（1）设，由题意，且 ， 所以 （2）设，，，BN的斜率为，由 知： ，由(1)知： 所以 设MN：，与双曲线 联立， 得：，所以 ， 所以 ， 即﹐ 则 整理得，解得或（舍），故直线MN过定点. 【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形． 例2．（2023·天津·联考模拟预测）已知椭圆：的离心率为，直线：与交于两点，且.(1)求的方程；(2)若的左、右顶点分别为，点不同于为直线上一动点，直线分别与交于点，证明：直线恒过定点，并求出该定点的坐标. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意得到得点在上，从而得到，再解方程组即可. （2）首先设，，，根据题意得到，将椭圆向左平移个单位得到，，，.设直线为，得到，根据，得到，从而得到线恒过点，再将定点向右平移2个单位即可. 【详解】（1）由，得点在上，又， 所以，解得，所以的方程为. （2）设，，，，， 因为，，所以. 因为， ，即，所以. 又因为，，， 所以，即. 将椭圆向左平移个单位得到， ，，.设直线为， 因为，. 所以，即， 所以，所以，解得， 所以线为，恒过点.将向右平移2个单位得到点，即直线恒过点. 当时，直线为，恒过点.综上直线恒过定点. 例3．（2023·新疆·统考二模）抛物线上的点到轴的距离为，到焦点的距离为． (1)求抛物线的方程和点的坐标；(2)若点在第一象限，过作直线交抛物线于另一点，且直线与直线交于点，过作轴的垂线交于．证明：直线过定点． 【答案】(1)抛物线的方程为，点的坐标为(2)证明见解析 【分析】（1）设点，根据已知条件可得出，求得，然后利用抛物线的定义可求得的值，即可得出抛物线的方程以及点的坐标； （2）设直线的方程为，设点点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，求出点的坐标，根据点在直线上以及韦达定理可得出、所满足的关系式，再将直线的方程变形，即可求得直线所过定点的坐标. 【详解】（1）解：设点，则，， 又，，即抛物线的方程为，点的坐标为. （2）解：由（1）知，可设直线的方程为， 联立可得，， 设点、，则，， 且，则直线的方程为， 将代入直线的方程可得，所以，点， 由点在直线上，可得， 即，所以，，即， 将直线的方程变形可得，即， 由可得，因此，直线过定点. 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程