专题08 圆锥曲线中的轨迹方程问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

专题08 圆锥曲线的轨迹方程问题 轨迹方程历年高考中的热门考点，常在解答题中第（1）问出现。本专题主要研究圆锥曲线中关于轨迹方程求法。首先正确理解曲线与方程的概念，会用解析几何的基本思想和坐标法研究几何问题，用方程的观点实现几何问题的代数化解决，并能根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程，常用方法有：直译法、定义法、相关点法、参数（交轨）法、点差法等。 1、直译法：若动点运动的条件是一些已知（或通过分析得出）几何量的等量关系，可转化成含x,y的等式，就得到轨迹方程。 直译法知识储备：两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率（向量）公式。 经典例题： 例1．（2022·湖南·长沙模拟预测）古希腊三大数学家之一阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中指出：平面内与两定点距离的比为常数k(且的点的轨迹是圆，已知平面内两点A(，0)，B(2，0)，直线，曲线C上动点P满足，则曲线C与直线l相交于M、N两点，则|MN|的最短长度为（    ） A． B． C．2 D．2 【答案】C 【分析】首先通过设动点P坐标，结合|PA|、PB|边长间的关系得到曲线C的轨迹为圆，问题转化为直线与圆的最短弦长问题，结合条件直线l过定点，通过垂径定理求解即可． 【详解】设动点P的坐标为(x，y)，则， 由得： 化简后得：曲线C：，故P点轨迹为圆， 又可化为 直线l过定点A(1，2)， 则圆心到直线的距离的最大值为|OA|，此时|MN|的长度最短． 所以|MN|的最短长度为．故选：C. 由例1推广：圆的另一种定义：平面内与两定点距离的比为常数k(且的点的轨迹是圆。 例2．（2022·安徽蚌埠·一模）在平面直角坐标系中，动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，设动点的轨迹为曲线.求曲线的方程； 【答案】 【分析】依题意由距离公式得到方程，整理即可得到动点的轨迹方程； 【解析】解：由题设得，即，整理得； 例3.（2022·浙江高三期中）《文心雕龙》中说“造化赋形，支体必双，神理为用，事不孤立”，意思是自然界的事物都是成双成对的．已知动点与定点的距离和它到定直线：的距离的比是常数．若某条直线上存在这样的点，则称该直线为“成双直线”．则下列结论正确的是（    ） A．动点的轨迹方程为 B．动点的轨迹与圆：没有公共点 C．直线：为成双直线 D．若直线与点的轨迹相交于，两点，点为点的轨迹上不同于，的一点，且直线，的斜率分别为，，则 【答案】C 【分析】A选项，设出动点，列出方程，化简得到动点的轨迹方程为，A错误； B选项，将与联立后，由根的判别式得到，得到动点的轨迹与圆：有两个公共点，B错误；C选项，将与联立后，由根的判别式进行求解得到直线：上存在这样的点，C正确； D选项，联立与联立，求出坐标，设，结合斜率公式得到. 【详解】设动点，故，化简得：， 两边平方得：，解得：，故动点的轨迹方程为，A错误； 将与联立得：， 则，故动点的轨迹与圆：有两个公共点，B舍去； 将与联立得：， 由，故直线：上存在这样的点， 故直线：为成双直线，C正确；联立与联立，， 解得：，故， 不妨设， ，故，则， 将代入上式， ，D错误.故选：C 由例2、3推广：圆锥曲线统一定义（第二定义）：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0<e<1时为椭圆：当e=1时为抛物线；当e>1时为双曲线。。 例4．（2022·成都七中高三期中）设点，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为k，对于结论：①当时，点M的轨迹方程为；②当时，点M的轨迹方程为；③当时，点M的轨迹方程为.其中正确结论的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】设,直线，的斜率之积，由直线，的斜率均存在，则，对三个命题进行逐一判断，即可得到答案. 【解析】设,由直线，的斜率均存在，则. 直线，的斜率之积. 当时，有 所以点M的轨迹方程为，所以①不正确. 当时,有，即. 所以点M的轨迹方程为，所以②正确. 当时,即，所以点M的轨迹方程为，所以③不正确.故选：B 【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线斜率公式的应用，考查化简运算能力，属于基础题. 例5．（2022·山东·高三期中）已知的两个顶点的坐标分别是，，且所在直线的斜率之积等于，则下列说法正确的是（    ）（多选题） A．当时，点的轨迹是双曲线 B．当时，点的轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点） C．当时，点在圆（除去点，）上运动 D．当时，点所在的椭圆的离心率随着的增大而增大 【答案】BC 【分析】由题知点的轨迹为，结合椭圆、双曲线、圆的方程依次判断各选项即得答案. 【详解】解：设，则． 当时，方程表示焦点在x轴上的双曲线（除去两个顶点），A错误，B正确； 当时，方程为，则点C在圆（