专题10 圆锥曲线中的定值问题-2023年高考数学圆锥曲线压轴题专题突破（通用版）

　　专题10 圆锥曲线中的定值问题 在解析几何中，有些几何量，如长度（距离）、面积、坐标、斜率（向量）、比值、角度等基本量与参变量无关，这类问题统称为定值问题．对学生逻辑思维能力计算能力等要求很高,这些问题重点考查学生方程思想、函数思想、转化与化归思想的应用． 探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值。 1、与面积（周长）有关的定值问题 经典例题： 例1．（2023·云南曲靖·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，动圆与圆内切，且与圆外切，记动圆圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的方程；(2)设曲线的左、右两个顶点分别为、，为直线上的动点，且不在轴上，直线与的另一个交点为，直线与的另一个交点为，为曲线的左焦点，求证：的周长为定值. 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】（1）设动圆的半径为，分析可得，利用椭圆的定义可求得轨迹的方程；（2）设点，设，，写出直线、的方程，将这两条直线分别与曲线的方程联立，求出点、的坐标，可得出直线的方程，化简直线的方程，可知直线过椭圆的右焦点，再利用椭圆的定义可证得结论成立. 【详解】（1）解：设动圆的半径为， 由题意可知：圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为， 因为，则，所以，圆内含于圆， 因为动圆与圆内切，且与圆外切，则， 所以，动圆的圆心的轨迹是以、为焦点的椭圆， 设其方程为，其中，， 所以，，，从而轨迹的方程为. （2）证明：由题意可知、、，设，，如下图所示： 直线的方程为，直线的方程为， 联立方程可得，消去得， 由韦达定理可得，即， 则，故点， 联立方程可得，由韦达定理可得，即， 则，故点， 所以，所以直线的方程为， 即，且，故直线过定点，所以的周长为定值， 当时，、或、， 所以，过椭圆的焦点，此时的周长为定值， 综上所述，的周长为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 例2．（2023秋·浙江杭州·高三校考期末）P为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．(1)求点的轨迹方程；(2)在（1）中曲线与轴的两个交点分别为和，、为曲线上异于、的两点，直线不过坐标原点，且不与坐标轴平行．点关于原点的对称点为，若直线与直线相交于点，直线与直线相交于点，证明：在曲线上存在定点，使得的面积为定值，并求该定值． 【答案】(1)(2)证明见解析， 【分析】（1）依题意可得，即可得到，根据椭圆的定义得到点的轨迹是以、为焦点的椭圆，从求出、、，即可得解； （2）设、，直线的方程为，联立直线与椭圆方程，消元、列出韦达定理，设，由、、三点共线及、、三点共线得到，从而得到直线的方程，再联立直线与直线的方程，求出在定直线上，要使的面积为定值，此时点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点，求出点坐标，即可求出三角形的面积. 【详解】（1）解：直线的垂直平分线交直线于点 ，， 由椭圆的定义可知，点的轨迹是以、为焦点的椭圆，且， 、，则，点的轨迹方程为． （2）证明：设、，直线的方程为， 与椭圆方程联立，得 ，得， 则 由根与系数的关系得 ，， 由（1）知，，设， 由、、三点共线得，由、、三点共线得， 则 . 所以的斜率，则直线的方程为， 联立直线与直线的方程，可得，解得， 因此在定直线上，使得的面积为定值的点一定为过点且与直线平行的直线与椭圆的交点，由，解得或，此时的坐标为或， 所以的面积． 例3．（2023·山东临沂·统考一模）已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若点在上，且与交于点，点在椭圆上，证明：的面积为定值． 【答案】(1)(2)证明见解析 【分析】(1)由题意，应用两点间距离公式化简即可；(2)先设点的坐标再应用点在椭圆上求出两直线方程，利用两点间的距离公式、点到直线的距离公式以及三角形面积公式求面积，化简即可证得结论. 【详解】（1）由题意知，化简整理得曲线的轨迹方程为． （2）设，由题意知． 由，可知分别为的中点，所以，． 由得， ． 同理，所以都在直线上． 由得， 又因为直线过坐标原点，所以， 又点到直线的距离， 所以，． 又，故．所以的面积为定值． 例4．（2023·山东·模拟预测）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1．(1)求双曲线的方程；(2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值．