专题3.8 双曲线的综合问题-【挑战满分】2023年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题3.8 双曲线的综合问题 与双曲线有关的解答题的求解策略： (1)熟知双曲线的渐近线、双曲线的方程及双曲线的性质是求解此类问题的关键； (2)对于双曲线中的定值、定点问题，属于难题，一般解法是设直线、联立方程组、根与系数关系、结合已知条件化简即可得出答案． 【预测题1】（2023·黑龙江哈尔滨·校考二模）已知双曲线的右焦点F，过点F的直线l交双曲线C于A，B两点，当直线l垂直于x轴时，． (1)求此双曲线的离心率； (2)若点F到此双曲线一条渐近线的距离为1，且以AB为直径的圆被x轴截得弦长为，求直线l方程． 【预测题2】（2023·湖南长沙·校考一模）已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，过点作直线与一条渐近线垂直，垂足为，与另一条渐近线相交于点，且都在轴右侧， (1)求双曲线的方程； (2)若直线与双曲线的右支相切，切点为与直线交于点，试探究以线段为直径的圆是否过轴上的定点. 【预测题3】（2023·山东聊城·统考一模）已知双曲线：（，）的右焦点为，一条渐近线的倾斜角为60°，且上的点到的距离的最小值为1． (1)求的方程； (2)设点，，动直线：与的右支相交于不同两点，，且，过点作，为垂足，证明：动点在定圆上，并求该圆的方程． 【预测题4】（2023·广东深圳·校联考模拟预测）已知双曲线C以为渐近线，其上焦点F坐标为. (1)求双曲线C的方程； (2)不平行于坐标轴的直线l过F与双曲线C交于两点，的中垂线交y轴于点T，问是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由. 【预测题5】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的一条渐近线的方程为，点在双曲线上． (1)求双曲线的标准方程． (2)设点在轴上，，在双曲线上是否存在两点，，使得当，，三点共线时，是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标和直线的方程；若不存在，请说明理由． 【预测题6】（2023·全国·校联考二模）已知双曲线的离心率为. (1)求双曲线的渐近线方程； (2)动直线分别交双曲线的渐近线于，两点（，分别在第一、四象限），且（为坐标原点）的面积恒为8，是否存在总与直线有且只有一个公共点的双曲线，若存在，求出双曲线的方程；若不存在，说明理由. 【预测题7】（2023·全国·模拟预测）已知双曲线的虚轴长为2，点到C的渐近线的距离为． (1)求双曲线C的标准方程． (2)若斜率不为零的直线l与C交于A，B两点，y轴恰是的平分线，试问：直线l是否过定点？若过定点，求该定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【预测题8】（2023·湖南常德·统考一模）已知双曲线的右顶点到渐近线的距离为，虚轴长为2，过双曲线C的右焦点F作直线MN（不与x轴重合）与双曲线C相交于M，N两点，过点M作直线l：的垂线ME，E为垂足. (1)求双曲线C的标准方程； (2)是否存在实数t，使得直线EN过x轴上的定点P，若存在，求t的值及定点P的坐标；若不存在，说明理由. 【预测题9】（2023·山西朔州·校考二模）在平面直角坐标系中，已知动点 ．记动点P的轨迹为曲线E． (1)求E的方程； (2)点M为直线上一点，过点M作曲线E的切线，切点为Q，问在x轴上是否存在定点T，满足？若存在，求出定点T的坐标：若不存在，请说明理由． 【预测题10】（2023·山东·校联考模拟预测）已知等轴双曲线C的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，点M，N在双曲线C上，当直线MN过C的右焦点且斜率为2时，． (1)求双曲线C的方程； (2)若线段MN的垂直平分线与y轴交于点Q，且，求O到直线MN的距离． 【预测题11】（2023·浙江温州·统考二模）已知点分别是双曲线的左右焦点，过的直线交双曲线右支于两点，点在第一象限． (1)求点横坐标的取值范围； (2)线段交圆于点，记的面积分别为，求的最小值． 【预测题12】（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作一条渐近线的垂线交C于点P，垂足为Q，，，M、N为双曲线左右顶点． (1)求双曲线C的方程； (2)设过点的动直线l交双曲线C右支于A，B两点（A在第一象限），若直线AM，BN的斜率分别为，． （i）试探究与的比值是否为定值．若是定值，求出这个定值：若不是定值，请说明理由； （ii）求的取值范围． 【预测题13】（2023·全国·模拟预测）已知直线恰好经过双曲线的左焦点，且与交于，两点，为的中点，当时，直线的斜率为1． (1)求双曲线的方程； (2)若直线经过且与直线垂直，与双曲线交于，两点，为的中点，证明：与的面积之比为定值． 【预测题14】（2023·山东枣庄·统考二模）已知双曲线C：的右焦点为，一条渐近线方程为． (1)求C的方程； (2)在x轴上是否存在与F不重合的点P，使得当过点F的直线与C的右支交于A，B两点时，总