专题3.7 椭圆的综合问题-【挑战满分】2023年高考数学解答题专项训练（新高考地区专用）

专题3.7 椭圆的综合问题 1．与直线与椭圆有关的解答题的求解策略： (1)求解此类问题，时常把两个曲线的方程联立，消去 (或)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系； (2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为或不存在等特殊情形．有时若直线过x轴上的一点，可将直线设成横截式． 2．求定点、定值问题常见的方法有两种： (1)从特殊入手，求出定点或定值，再证明这个值与变量无关； (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定点或定值． 【预测题1】（2023·陕西榆林·校考模拟预测）在平面直角坐标系中，已知椭圆：焦距为2，过点的直线与椭圆交于两点.当直线过原点时，. (1)求椭圆的标准方程； (2)若存在直线，使得，求的取值范围. 【预测题2】（2023·北京西城·统考一模）已知椭圆，点在椭圆上，且（为原点）．设的中点为，射线交椭圆于点． (1)当直线与轴垂直时，求直线的方程； (2)求的取值范围． 【预测题3】（2023·河南安阳·统考二模）已知O为坐标原点，设椭圆的离心率为，过椭圆E上第一象限内一点P引x轴、y轴的平行线，分别交y轴、x轴于点A，B，且分别交直线于点Q，R，记与的面积分别为，，满足． (1)求椭圆E的标准方程； (2)已知点，直线交椭圆E于S，T两点，直线NS，NT分别与x轴交于C，D两点，证明：为定值． 【预测题4】（2023·四川广安·统考二模）已知椭圆经过，两点，，是椭圆上异于的两动点，且，若直线，的斜率均存在，并分别记为，. (1)求证：为常数； (2)求面积的最大值. 【预测题5】（2023·山西·校联考模拟预测）已知椭圆的离心率为，三点中恰有两个点在椭圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)若C的上顶点为E，右焦点为F，过点F的直线交C于A，B两点（与椭圆顶点不重合），直线EA，EB分别交直线于P，Q两点，求面积的最小值． 【预测题6】（2023·山东·校联考模拟预测）已知曲线，直线与曲线交于轴右侧不同的两点． (1)求的取值范围； (2)已知点的坐标为，试问：的内心是否恒在一条定直线上？若是，请求出该直线方程；若不是，请说明理由． 【预测题7】（2023·河南安阳·统考二模）关于椭圆有如下结论：“若点在椭圆上，则过点的椭圆的切线方程为”设椭圆的离心率为，左、右顶点分别为和，动点在椭圆位于第一象限的部分上，过点作椭圆的切线分别与过和的椭圆的切线相交于点和，且． (1)求椭圆的标准方程； (2)已知坐标原点和点，直线交椭圆于、两点，直线、分别与轴交于、两点，证明：为定值． 【预测题8】（2023·天津·校联考一模）已知椭圆：的右焦点为点，、分别为椭圆的上、下顶点，若椭圆中心到直线的距离为其短轴长的． (1)求椭圆的离心率； (2)过点且斜率为（）的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点，过点且与平行的直线截椭圆所得弦长为，求椭圆的标准方程． 【预测题9】（2023·湖北武汉·校联考模拟预测）已知A，B为椭圆左右两个顶点，动点D是椭圆上异于A，B的一点，点F是右焦点．当点D的坐标为时，． (1)求椭圆的方程． (2)已知点C的坐标为，直线CD与椭圆交于另一点E，判断直线AD与直线BE的交点P是否在一定直线上，如果是，求出该直线方程；如果不是，请说明理由． 【预测题10】（2023·四川遂宁·统考二模）已知椭圆：经过，两点，M，N是椭圆上异于T的两动点，且，直线AM，AN的斜率均存在.并分别记为，. (1)求证：为常数； (2)证明直线MN过定点. 【预测题11】（2023·全国·模拟预测）已知平面内动点M到两定点E，F的距离之和为4，且E，F两点间的距离为2． (1)以点E，F所在的直线为x轴，建立适当的坐标系，求点M的轨迹C的方程． (2)直线l过点F，交曲线C于A，B两点，AB的中点为（异于坐标原点O）．若点Q的坐标之和，求弦AB的长． 【预测题12】（2023·江苏南通·二模）已知椭圆的离心率为，焦距为，过的左焦点的直线与相交于、两点，与直线相交于点． (1)若，求证：； (2)过点作直线的垂线与相交于、两点，与直线相交于点．求的最大值． 【预测题13】（2023·全国·模拟预测）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于左、右顶点的动点，的最小值为2，且的离心率为． (1)求椭圆的方程． (2)若圆与的三边都相切，判断是否存在定点，，使为定值．若存在，求出点，的坐标；若不存在，请说明理由． 【预测题14】（2023·天津·大港一中校联考一模）已知椭圆的离心率为，直线与椭圆相交于两点、，且． (1)求椭圆的方程； (2)设点是椭圆上除长轴端点外的任一点，、为左、右焦点，连接、，设的角平分线交椭